Hogyan kell kiszámolni egy háromszög szögeit, ha csak az oldalak vannak megadva?

Koszinusztetel:

Például:

cos£=(9^2+11^2-6^2)/(2*9*11)

A koszinusztétel ismerete nélkül, alapvető lépések használatával is ki lehet számolni a szögeket; húzd be a legnagyobb oldalra merőleges magasságot (azért azt, mert a legnagyobb oldalon biztosan hegyesszögek fekszenek, így a magasság biztosan a háromszögön belül van). Ha ez megvan, akkor fel tudsz írni két Pitagorasz-tételt, amivel egy másodfokú egyenletrendszert kapsz, amit könnyen meg tudsz oldani.

Ha ez megvan, akkor a háromszögön belül keletkezik két derékszögű háromszög, melynek mindhárom oldalát ismered, így akár a szinusz, akár a koszinusz, akár a tangens definíciójával számolhatod a hegyesszögeket, és azokból megkapod az eredeti háromszög szögeit is.

Ha a tangenst nem használod, csak a szinuszt és a koszinuszt, akkor gyakorlatilag a koszinusztétel bizonyításának lépéseit használod. Emiatt ezt az eljárást általánosítva a koszinusztételt kapod, amivel egy lépésben (egy egyenlettel) ki tudod számolni a szögeket.

Adatok: a= 11 cm, b = 9 cm és c = 6 cm. Hagyományosan az "a" oldallal szemben alfa, b oldallal szemben béta és c oldallal szemben gamma szög legyen.

1. lépés: koszinusztétellel kiszámoljuk a legnagyobb belső szöget (alfa), ami a 11 cm-es (leghosszabb) oldallal szemben található.

a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(alfa)

121 = 81 + 36 - 2*9*6*cos(alfa)

121 = 117 - 108cos(alfa)

4 = -108cos(alfa)

-0,0370 = cos(alfa)

92,12 fok = alfa

2. lépés: kiszámoljuk béta szöget szinusztétel segítségével.

b/a = sin(béta)/sin(alfa)

9/11 = sin(béta)/sin(92,12)

0,8176 = sin(béta)

54,85 fok = béta

3. lépés: A gamma szöget a háromszögek 180 fokos belső szögösszegéből kapjuk meg legkönnyebben.

gamma = 180 - 92,12 - 54,85 = 33,03 fok.

Extra megfigyelés: mivel a legnagyobb szög 90 foknál nagyobb, így tompaszögű háromszögről van szó.