Adott egy derékszögű háromszög átfogójának és a derékszög szögfelezőjének hossza. Az háromszöget a derékszög szögfelezője két részháromszögre osztja. Hogyan kell kiszámolni ezen háromszöget szögeit és oldalait?

Én itt tartok a megoldásban:

[link]

Tovább is van - mondjam még?

Sajnos a számolással én elakadtam ( negyedfokú egyenlet ), a szerkesztés eredményei itt láthatóak:

[link]

Ha valaki számolással megoldja, kérem ossza meg velem is.

Érdekes feladat!

Végiggondolva a problémát, a megoldás a befogók meghatározására redukálódik.

Ezek ismeretében minden távolság és szög számítható.

Zárt megoldás kissé macerás, de két lépésben egyszerűen kezelhető végeredmény adódik.

(Zárójelben jegyzem meg, hogy Zsiga eredményei jók, az alább levezetendő összefüggések is igazolják. :-) )

Az értelmezéshez az ábra

[link]

A kiinduló egyenletek

1. A szögfelező hosszának számítási képlete

2. A Pithagorasz tétel

vagyis

f = [2ab/(a + b)]*cosγ

a² + b² = c²

Két ismeretlen, két egyenlet, egy kis trükkel megoldható a feladat. :-)

Mivel

γ = 45°

ezért az első egyenlet

f = [ab/(a + b)]*√2

kicsit átrendezve

f/√2 = ab/(a + b)

Az

f/√2 = k

helyettesítéssel és a jobb oldali tört eltüntetése után adódik:

k(a + b) = ab

A második egyenletet is fazonírozva:

a² + b² = c²

(a + b)² - 2ab = c²

átrendezve

(a + b)² - c² = 2ab

Tehát a két egyenletünk a következő

(A) k(a + b) = ab

(B) (a + b)² - c² = 2ab

Az elsőt 2-vel szorozva, majd a másodikból kivonva az elsőt

(a + b)² - 2k(a + b) - c² = 0

egyenlet adódik, ami (a + b)-re nézve egy másodfokú egyenlet.

Az

a + b = s

jelöléssel az egyenlet

s² - 2ks - c² = 0

alakú lesz.

Ennek megoldása

s = k + √(k² + c²)

Mivel

s = a + b,

ezt a (A) egyenletbe behelyettesítve az

k*s = ab

alakú lesz, így van két új egyenletünk, azaz

a + b = s

a*b = k*s

Ennek a megoldása nem lehet gond.

Legyen az elsőből

b = s - a

ezt a másodikba behelyettesítve, rendezve a

0 = a² - a*s + k*s

másodfokú egyenlet adódik, melynek megoldásai a két befogót adják.

a1,2 = s/2 ± √[(s/2)² - k*s]

Hogy az ábrával szinkronban legyen

- a rövidebbik befogó

a = s/2 - √[(s/2)² - k*s]

és

- a hosszabbik befogó

b = s/2 + √[(s/2)² - k*s]

Hiányzik még az átfogó két szeletének a hossza.

Feltételezem, hogy a kérdező ismeri a szögfelező-tételt - ha nem, majd szól - ezért részletezés nélkül

c(a) = a*[c/(a + b)]

és

c(b) = b*[c/(a + b)]

A

c/(a + b) = λ

jelöléssel

c(a) = a*λ

c(b) = b*λ

Ezzel a feladat megoldottnak tekinthető.

Még egy apróság a végére.

A rajzon bejelöltem a δ szöget. A megoldáshoz nem szükséges, de egy derékszögű háromszög esetén egy egyszerű összefüggés adódik a meghatározására.

sinδ = m/f

Derékszögű háromszög esetén

m = a*b/c

A levezetés elején említett szögfelező hossz képlete

f = [ab/(a + b)]*√2

Ezeket behelyettesítve egyszerűsítés után az adódik, hogy

sinδ = √2/(2*λ)

Derékszögű háromszög esetén így közvetlenül számítható a szögfelező és az átfogó metszésének szöge.

Csak remélni tudom, hogy minden érthető, ha nem, lehet kérdezni. :-)

DeeDee

*************

Azóta is várom a megoldásokat:

[link]