Meg tudnátok nekem oldani ezt a matek feladatot?

Algebrai úton:

egyenesből: y= 2/3*x - 1/3, ezzel párhuzamos egyenes: 2/3*x + c (c tetszőleges)

behelyettesítés: (x-4)^2 + (2/3*x - c - 3)^2 = 4, ez így másodfokú egyenlet, megoldásai az egyenes és kör metszéspontjai, ami lehet 0,1 vagy 2. Ez a tény összefüggésben van a másodfokú egyenlet gyökeinek számával, amit a diszkrimináns határoz meg. D <0 akkor 0, D=0, akkor 1 , D>0 akkor 2.

Tehát fel kell írni a diszkriminánst ( "c" másodfokú függvénye lesz) és egyenlő legyen 0-val, tehát egy metszés pontja lesz az egyenesnek, ami az érintőre igaz csak. Másodfokúnak két megoldása lesz, a két oldali érintő.

(x-4)^2 + (2/3*x - c - 3)^2 = 4

x^2 -8*x + 16 + 4/9*x^2 + c^2 + 9 - 4/3*x*c - 4*x + 6*c

(1+4/9)*x^2 + (-8-4/3*c-4)*x + (16+9+6*c-4) = 0

D = b^2 -4ac =(-4/3*c-12)^2 - 4*13/9*(6*c+21) = 0

D = 16/9*c^2 + 32*c + 144 + 104/3*c + 364/3 = 0

D = 16/9*c^2 + 200/3*c + 796/3 = 0

c = .... => y = 2/3*x + c

Vektoralgebrával:

kör középpontja: k =(4,3), sugara: 2

(a,b) vektorra merőleges vektor: (b, -a) vagy (-b, a)

egyenes irányvektora az egyenletből: v=(3,2); normálvektora: n=(2, -3); nagyságuk: gyök13

érintési pontok:

k +/- v, és az érintő, merőleges egyenesek normálvektora: n_új = v lesz

k +/- n, és az érintő, párhuzamos egyenesek normálvektora: n_új = n lesz

Egyenes egyenlete, ha adott a normálvektor(n1,n2) és a pont amin áthalad(x0,y0):

n1*(x-x0) + n2*(y-y0) = 0.

A kor középpontja: O(4;2), sugara r=2. A f: 2x-3y=1 egyenessel párhuzamos érintő egyenlete: e: 2x-3y=t. Az Oe távolság 2.

|2*4-3*2-t|/sqrt(2^2+(-3)^2)=2

|2-t|=2*sqrt(13)

2-t = 2*sqrt(13) vagy 2-t=-2*sqrt(13)

t1=2-2*sqrt(13)=-5,21 t2=2+2*sqrt(13)=9,21

e1: 2x-3y=-5,21 e2: 2x-3y=9,21

A merőleges érintőket 3x+2y=v alakban kell keresni. Onnan hasonlóléppen ...

Ne haragudj, van egy kis elírásom:

+/-v és +/-n helyett +/-2/gyök13*v és +/-2/gyök13*n kell. Azaz leosztunk a nagysággal és szorzunk a sugárral. :)