Itt egy kis segitseget szeretnek kerni!!???????????

Itt van a grafikus megoldás:

[link]

Ennek alapján gondold át, hogy az egyes függvények milyen értékeket vesznek fel az egyes tartományokon! Innen megállapíthatod a megoldáshalmazt, ami szerintem:

{1}U[2; végtelen)

Igen, azt elnéztem; 1<x<2-re a bal oldal értéke 1, és nem 0.

De a lényeg; egyenletmegoldás előtt mindig érdemes gondolkodni, mielőtt nekiesnénk.

Mondom, már az értelmezési tartományt is rosszul adták meg, így ilyenen ne csodálkozzunk...

Melyik könyv, egyébként?

A 454-nél kellene tudni, hogy az a paraméter értékei mik lehetnek. Ha ábrázolod a bal és a jobb oldalt függvényként, akkor a jobb oldalra ezt a függvényt kapod (amit egyébként törtrészfüggvénynek hívnak):

[link]

A bal oldal egy mezei lineáris függvény, ami a koordináta-rendszer origóján megy át, meredeksége 1/a. Látható, hogy ahogy a értékét változtatjuk, úgy változnak a megoldások és a megoldásszámok. Ezt általánosítani nagyon nehéz tetszőleges a paraméter mellett.

A 455-nél könnyű dolgunk van. A jobb oldal mindenképp egész, így a bal oldalnak is egésznek kell lennie, ez pedig csak akkor lehet egész, hogyha x egész, így a feladat értelmezési tartománya az egész számok halmaza.

A feladatot aszerint fogjuk vizsgálni, hogy x milyen maradékot ad 6-tal osztva;

1) x=6k alakú, ahol k egész, vagyis 6-tal osztható, ekkor

6k-1 = [6k/2] + [6k/3] + [6k/6], elvégezzük a műveleteket:

6k-1 = [3k] + [2k] + [k], újra elvégezzük a műveleteket:

6k-1 = 3k + 2k + k, összevonunk:

6k-1 = 6k, kivonunk 6k-t:

-1=0, ami nem igaz így a feladatnak nincs megoldása.

2) x=6k+1 alakú, vagyis x 6-tal osztva 1 maradékot ad, ekkor

6k+1-1 = [(6k+1)/2] + [(6k+1)/3] + [(6k+1)/6], elvégezzük az osztásokat:

6k = [3k + 1/2] + [2k + 1/3] + [k + 1/6], elvégezzük a műveleteket:

6k = 3k + 2k + k, összevonás:

6k = 6k, ez pedig azonosság, tehát x=(6-tal osztva 1 maradékot adó egész számok) megoldások lesznek.

3) x=6k+2 alakú, vagyis x 6-tal osztva 2 maradékot ad, ekkor:

6k+2-1 = [(6k+2)/2] + [(6k+2)/3] + [(6k+2)/6], elvégezzük az osztásokat:

6k+1 = [3k+1] + [2k + 2/3] + [k + 2/6], elvégezzük a műveleteket:

6k+1 = 3k+1 + 2k + k, vagyis

6k+1 = 6k+1, ami szintén azonosság.

4) x=6k+3 alakú, tehát

6k+3-1 = [(6k+3)/2] + [(6k+3)/3] + [(6k+3)/6], osztások után:

6k+2 = [3k+1 + 1/2] + [2k+1] + [k + 3/6], vagyis

6k+2 = 3k+1 + 2k+1 + k, itt is azonosság van.

5) x=6k+4, tehát

6k+4-1 = [(6k+4)/2] + [(6k+4)/3] + [(6k+4)/6], osztás után

6k+3 = [3k+2] + [2k+1 + 1/3] + [k + 4/6], aztán

6k+3 = 3k+2 + 2k+1 + k, ez is azonosság.

6) x=6k+5, vagyis

6k+5-1 = [(6k+5)/2] + [(6k+5)/3] + [(6k+5)/6], osztás után

6k+4 = [3k+2 + 1/2] + [2k+1 + 2/3] + [k + 5/6], aztán

6k+4 = 3k+2 + 2k+1 + k, erre pedig

1 = 0 adódik, ami nem igaz.

Tehát azt mondhatjuk, hogy az egyenlet megoldáshalmaza azon x egész számok, melyek 6-tal osztva 1,2,3, vagy 4 maradékot adnak.