Ennek az integrálja?

Fsltételezem, hogy az ln(x) a nevezőben van, az x mellett:

f(x) = 1 / (x*ln(x)), azaz (1/x) / (ln(x)).

Ha igen, akkor épp a nevező deriváltja van a számlálóban, tehát ha g(x) = ln(x), akkor g'(x) = 1/x, és akkor f(x) = g'(x) / g(x).

Az integrál úgy néz ki, ahogy te is írtad: ∫ (1/x) / (ln(x)) dx (le ne hagyd a dx-et!!!)

Kézenfekvő behelyettesítést használni:

u = ln(x)

du = 1/x dx

dx = xdu

∫ 1/(xln(x)) dx

∫ 1/(xu) xdu = ∫ 1/u du = ln|u| = ln|ln(x)| + C

Ha belátjuk, hogy f(x) felírható g'(x)/g(x) alakban (fentebb már beláttuk), akkor persze a fenti képlet is működik:

∫ g'(x)/g(x) dx = ln|g(x)| = ln|ln(x)| + C

A képlet és a behelyettesítés is ugyanazt az eredményt hozta.

Abból, hogy f(x)= 1/x*ln(x), nem teljesen egyértelmű, hogy az ln(x) a számlálóhoz vagy a nevezőhöz tartozik-e.

Értelmezhető úgy is, hogy 1 / (x*ln(x)); meg úgy is, hogy (1/x) * (ln(x)). Én alapból az utóbbi értelmezést érteném alatta, de azzal nem működik az általatok használt f'(x)/f(x)-es képlet, így marad az az értelmezés, hogy az ln(x) az x mellett van a nevezőben, azaz 1 / (x*ln(x)), hiszen az ketté bontva azonos azzal, hogy 1/x * 1/ln(x), ami reciprokkal osztással átírva (1/x) / (ln(x)).

A ketté bontás után sima algebrai átalakítás jön. Az egyszerűség és a példa kedvéért legyen a nevezőben a*b, tehát a tört: 1 / ab.

Ez ketté bontva 1/a * 1/b.

Tudjuk, hogy az osztás valójában nem más, mint reciprokkal történő szorzás.

Ha jól megnézzük a példát, a "* 1/b" nem más, mint a b reciprokával való szorzás, ami ugye nem más, mintha szimplán osztanánk b-vel:

1/a * 1/b = 1/a : b (ami más alakban 1/a / b = 1/ab).

Mivel a szorzás és az osztás egymás inverz műveletei, ezért tulajdonképpen "a másik irányból" úgy is mondhatnánk, hogy a szorzás reciprokkal való osztás. A példánál maradva, az 1/b reciproka b lesz, de azzal nem szorzunk, hanem osztunk, így szintén odajutunk, hogy "* 1/b" = "/ b".