8. Osztály - permutáció, variáció, kombinatorika. Kislányom az alábbi feladatot kapta, és kicsit meggyűlt vele a bajunk. Mi az ötletetek?

Kellene tudni, hogy milyen szinten vagyok. Középiskolában így lehet megoldani;

Koncentráljunk csak arra, hogy az első négy testet az első dobozba tesszük, mivel a többi helye akkor már adott lesz. Az első dobozba (minden megkötés nélkül) 8*7*6*5=1680-féleképpen tudjuk a testeket elhelyezni. Feltételezem, hogy a dobozba rakás sorrendje nem számít, emiatt osztanunk kell 4!=4*3*2*1=24-gyel, így 70-et kapunk. Ezen kívül még osztani kell 2-vel, mivel például az abcdABCD és az ABCDabcd elosztás ugyanannak tekintendő, tehát összesen 35-féle lehetőség van a szétosztásra.

Ebből a 35 esetből le kell nekünk vonnunk azokat az eseteket, amikor az egyik dobozban nincsenek gömbök. A kockákat egy dobozba 5*4*3*2=336-féle módon lehet elhelyezni, de a sorrendjük itt sem számít, így osztunk kell 4!=24-gyel, ezzel 14 lehetőséget kapunk, viszont itt is osztani kell még 2-vel a két doboz azonossága miatt, tehát 7 olyan eset van, ahol valamelyik dobozban nincs gömb.

35-7=28, tehát 28-féleképpen lehet elrendezni a testeket úgy, hogy minden feltétel teljesüljön. Mivel a 28 nem olyan sok, akár még manuálisan össze is lehet szedni az eseteket.

Először is, mivel 8 elem van és egyenlően kell a két dobozba elosztani, elég csak az egyiket vizsgálni és a maradék megy a másikba.

Mivel kell, hogy legyen min. egy gömb kezdjük azzal.

Szóval az első helyre ki kell választani 3 gömb közül az egyet, szóval 3 lehetőség van, a műveletünk úgy kezdődik, hogy: 3 ⋅

Ezután két lehetőséget veszek: van még egy gömb ebben a dobozban, vagy már csak kockák.

Ha van még egy gömb, akkor a hátralévő 2 gömbből kiválasztunk egyet:

(1 alatt 2), majd a maradék két helyre kiválasztunk 2 kockát az 5-ből: (2 alatt 5)

A másik eset, pedig, hogy nem rakunk több gömböt, tehát az 5 kockából 3-at kell kiválasztani (3 alatt 5)

Tehát az összes eset száma 3 ⋅ ((1 alatt 2)(2 alatt 5) + (3 alatt 5)) = 3⋅(2⋅10+10) = 90

A gömböket 3-féle képen lehet elosztani: a legkisebb, a középső vagy a legnagyobb mehet az egyik, a másik kettő a másik dobozba.

Következzenek a kockák: a két gömb mellé megy két kocka ez 5*4/2=10 eset. Első helyre vâlaszthatsz 5 féle, a második helyre 4-féle kockából, de mivel a sorrend mindegy ezt felezni kell. (Mindegy, hogy pl.: először a legnagyobb kockát, utána a legkisebbet tesszük a dobozba - a két golyó mellé - vagy először a legkisebbet utána a legnagyobbat.) Miután a két kockát kiválasztottad utána mind a három maradéknak be kell kerülnie a másik dobozba, az egy golyó mellé, így ez egy kimenetel.

Összesen tehát 3*10 = 30 eset.

1-es vagyok, valamit elírtam, és azért nem jött ki a 30.

5*4*3*2=120 és nem 336. Ezt osztjuk 4*3*2*1-gyel, és 5-öt kapunk. Ezután pedig azért nem kell osztani 2-vel, mert a dobozok sorrendje ugyan nem számít, de egy konkrét sorrendet kijelölhetünk. Osztani akkor kellene 2-vel, hogyha úgy számoltam volna, hogy

1. eset: az első dobozba nem kerül gömb -> 5 lehetőség

2. eset: a második dobozba nem kerül gömb -> 5 lehetőség

Összesen 10 lehetőség, és itt osztani kellene a 2-vel.

Tehát 35-5=30.

A 2-es baromságot írt teljesen, azzal ne foglalkozz.

A 3-as gondolatmenete egyszerűbb, és egy 8.-os is jó eséllyel megérti.

#5 igen, de mivel

"Két elrendezés akkor különböző, ha nem ugyanúgy osztottuk szét a különböző fajtájú és méretű testeket",

ezért nem kell 2-vel szorozni.

#6 Egyszerűbb kombinatorikai feladatokkal már foglalkoznak általános iskolában is. Nem tudom, hogy külföldön hogyan működik, de gyakran Romániát szokták felhozni, hogy ott mennyi mindent is kell tanulni matekból, így nem tartom kizártnak, hogy ott már 8. osztályban is mélyebben veszik ezeket.