Az alábbi feladatot hogyan kell megoldani?

a) Állítás: Ha n olyan pozitív egész, hogy a^n = 1, akkor o(a)|n.

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy o(a) nem osztja az n-t.

Mivel o(a) definícióból adódóan a legkisebb pozitív egész, melyre emelve a-t az 1-et (egységelem) kapjuk, ezért végezhetünk maradékos osztást:

n = k*o(a) + m, ahol k poz.egész, m poz.egész és 0<m<o(a). (remélem érthető, hogy m miért nem 0 és miért kisebb, mint o(a)).

Ekkor

1 = a^n = a^(k*o(a)+m) = (a^(o(a)))^k * a^m = 1*a^m = a^m.

Azt kaptuk, hogy m egy o(a)-tól kisebb pozitív egész, melyre emelve a-t az egységelemet kapjuk. Ez ellentmondás, azaz o(a)|n igaz.

Ez egy segédállítás volt. Most jöjjön a lényeg.

Legyen [o(a),o(b)]=n.

Ekkor nyilvánvalóan o(a)|n és o(b)|n teljesül (hiszen többszöröse mindkettőnek).

Ekkor valamilyen k-ra ugye a^n = a^(o(a)*k) = (a^(o(a)))^k = 1^k = 1.

Hasonlóan b-re is b^n = 1.

1 = a^n*b^n = (ab)^n, mivel a csoport kommutatív és át tudjuk így rendezni a dolgokat.

Azaz beláttuk, hogy (ab)^n = 1.

No de a segédállítás alapján o(ab)|n-t és ezzel be is láttuk, amit be kellett.