Egy háromszög mindhárom oldalának cm-ben vett mértéke prímszám. A háromszög kerülete 84cm. Mekkorák lehetnek az oldalai?

Mindhárom oldal hossza nem lehet páratlan szám, mert akkor páratlan lenne a háromszög kerülete is. Egy páros prímszámunk van, tehát az egyik oldal 2 cm lesz, a másik két oldal összege így marad 82 cm.

1-82-ig a prímszámok a következők:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79

Magyarul az a kérdés, hogy hogyan tudod a 84-et felírni három prímszám összegeként (illetve még egy kis csavar lesz a végén).

Prímszámos feladatoknál érdemes megjegyezni, hogy páros prímszám csak egy darab van, a 2, és a legtöbb példa a páros-páratlan viszonyára épít. Esetünkben ha mindhárom prímszám páratlan, akkor az összegük is páratlan lenne, pedig a 84 páros. Következésképp vagy egy páros és két páratlan, vagy hárrom páros számot kell összeadnunk.

Ha mindhárom páros, akkor csak a 2+2+2 jöhet szóba, ami nem 84.

Ha egy páros és két páratlan van, akkor a 2 kötelező elem. Így már csak az a kérdés, hogy a 82-t hogyan lehet két páratlan prímszám összegeként felírni. Itt sajnos nincs más lehetőségünk, minthogy kivonogatjuk a prímszámokat;

[link]

82-3 = 79, a 79 prímszám

82-5 = 77, osztható 7-tel, nem prímszám

82-7 = 75, osztható 5-tel, nem prímszám

82-11 = 71, prímszám

82-13 = 69, osztható 3--mal, nem prímszám

82-17 = 65, osztható 5-tel, nem prímszám

82-19 = 63, osztható 3-mal, nem prímszám

82-23 = 59, prímszám

82-29 = 53, prímszám

82-31 = 51, osztható 3-mal, nem prímszám

82-37 = 45, osztható 5-tel, nem prímszám

82-41 = 41, prímszám

Tovább nem érdemes folytatni.

Tehát öt esetben kaptuk meg a 84-et összegnek.

Itt még nem állhatunk meg, mert létezik egy úgynevezett háromszög-egyenlőtlenség, ami azt mondja ki, hogy minden (sík)háromszög esetén bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. Értelemszerűen ha a legnagyobb oldal szerepel az összegben, akkor az összeg nagyobb lesz a harmadik oldalnál, így csak a legnagyobb oldalt kell "legyőznie" a másik két oldal összegének;

2+3 > 79, ez sajnos nem igaz

2+11 > 71, ez sem

2+23 > 59, szintén nem

2+29 > 53, ugyanaz a helyzet

2+41 > 41, ez igaz lesz.

Tehát csak egy háromszög van, ami megfelel a feltételeknek, és ez a háromszög 2 cm-es és két 41 cm-es oldallal rendelkezik.

Ha az lenne a feladat, hogy három, tetszőlegesen felvett hosszból készíthető-e háromszög, akkor a háromszög-egyenlőtlenség három lehetőségének végigzongorázása helyett van rövidebb út is a kérdés megválaszolására.

Legyen a három hossz nagysági sorrendje:

a < b < c

azaz a leghosszabb oldal: c

A három hossz összege, vagyis a kerület

K = a + b + c

A háromszög egyenlőtlenség szerint

a + b > c

A kerületből

a + b = K - c

Ezzel az egyenlőtlenség

K - c > c

Átrendezve

K > 2c

A félkerületet (s) bevezetve

2s > 2c

egyszerűsítés után

s > c

ill. megfordítva

c < s

*****

vagyis: a leghosszabb oldal kisebb a félkerületnél.

Ha teljesül ez az egyenlőtlenség, akkor építhető háromszög a három hosszból, ellenkező esetben nem.

Lássuk, hogyan alkalmazható esetünkben az új összefüggés.

A kerület

K = 84

A félkerület

s = 42

A leghosszabb oldal ennél kisebb és a feltételek miatt prímszám kell legyen.

A legközelebbi prímszám

c = 41

A maradék hossz:

a + b = 43

Ezt kell felosztani két prímszámra, melyek közül

- az egyik páros (másként az összeg nem lesz páratlan)

- a másik nem nagyobb 41-nél.

Mivel csak egy páros prímszám van, az egyik oldal: a = 2,

így a harmadik oldal b = 43 - 2 = 41

Tehát a háromszög oldalai

a = 2

b = 41

c = 41

Ez az egyetlen, a feltételeknek megfelelő háromszög.

DeeDee

**********