Mit lehetne kezdeni az alábbi feladattal?

Megnézzük, hogy milyen p prímmel lehet egyszerűsíteni. Mod p dolgozunk, F_p-ről tudjuk, hogy test. Tudjuk, hogy

: 3n^2 + 2 = 0,

és

: 2n^3 + 1 = 0.

Ezekből átrendezéssel

: n^2 = -2/3,

és

: n^3 = -1/2

adódnak, amikből

: n = n^3/n^2 = 3/4

adódik. Ezt négyzetre emelve kapjuk, hogy

: 9/16 = n^2 = -2/3,

amit felszorozva

: 27 = - 32,

: 59 = 0

adódik, ami csak p = 59 esetén fordulhat elő. Semmilyen más prímmel semmilyen n-re nem egyszerűsíthető a két érték. Most már tudjuk p értékét, rögzítsük, p = 59. p = 59 esetén pedig

: n = 3/4,

: 4n = 3 (mod 59).

Ezt nem tudom megoldani papíron. Legrosszabb esetben maximum 59 esetet kell végignézni, hosszú versenybe ez belefér talán. Egyébként euklideszi algoritmussal lehet valahogy (?). Mindenesetre

: n = 45

jön ki.

Tehát az összes olyan n amelyre egyszerűsíthető a tört, n = 45 + k*59 alakú, ezekből a legkisebb pozitív pont jó is, hiszen teljesül rá az első 2 egyenlet.

(Pl ez a számológép [link] tud mod 59 osztani, hatványozni, zárójelezni, egész hosszú kifejezéseket is. Le lehet ellenőrizni vele az egyenleteket, ha valaki nem biztos bennük. n^2 = 19, és n^3 = 29.)

Na jó, 4n = 3 (mod 59)-re:

59+3=62 nem osztható 4-gyel, de, 62+2*59 = 62 + 108 = 170 már osztható 4-gyel, így n = 45.

Végül is megcsinálható az egész papíron.

#11:

például p=5 az jó, nem? Innen hogyan tovább?

#15:

Ha egy p(n) 1 vagy 2 fokú egész egyhós polinom osztaná mind a két polinomot, akkor p(n)-nel lehetne egyszerűsíteni ha az nem 0,1 vagy -1, így lenne n-re megoldás 10-ig, de, nincsen. Így a két polinom relatív prím.

Vagy nézd meg a (komplex) gyökeiket.