Ennek a matek feladatnak miért ez a megoldása?

Azért mert, ahogy te csinálod, figyelembe veszi a férfiak és a nők egymás közötti sorrendjét is. Ezért szerepel a megoldásban az, hogy az összes lehetséges sorrendet (5!) elosztja a részcsoportok egymás köztis sorrendjeivel (3!x2!), hiszen ezeket a feladat szerint nem tekintjük különbözőnek.

Pl.:

f1-n1-f2-n2-n3 ugyanaz, mint f2-n3-f1-n1-n2, azaz a férfiak és a nők egymás közti sorrendje és az, hogy ezeket hogyan párosítjuk egymással mindegy -> el osztanunk kell a 3!x2!-al.

És hibásan írsz csak N-ről és férfiről. Annyiban igaz, hogy csak a nemek számítanak, hogy nem különböztetjük meg őket abból abból a szempontból, hogy ha bemegy egymás után két F akkor ha cserélnek, az a feladat szempontjából még ugyanannak számít.

Viszont a feladat arra vonatkozik, hogy ezt figyelembe véve hányféle sorrendben tudnak bemenni. Ha veszel 3 nőt és két férfit, azaz összesen 5 embert, akkor a 2 megoldással önmagadnak mondanál ellent, hiszen mondtad, hogy elsőre 5!-ként írnád fel. Ez azért nem jó, mert 5! esetén 5 különböző emberről beszélünk, ahol elsőként 5 ember mehet be, másodikként 4, stb. és ezeket összeszorozzuk, hogy megkapjuk hányféle sorrendben mehetnek be. Azonban a feladat kiírása szerint csak az számít a sorrendnél, hogy férfi, vagy nő megy be. Ha ketten lennének, ez valóba 2x1 = 2 megoldás lenne, hiszen vagy az egyikük megy be, vagy a másikuk. Így viszont amire a feladat kíváncsi az a férfiak és nők egymásutánisága - pl. F-N-F-N-N, vagy N-F-F-N-N - ahol, ha megnézed, valóban csak az számít, hogy az illető férfi vagy nő, de mivel nem ketten vannak, ezért mindenképpen több lehetőség lesz kettőnél.

Ha az 5!-os megoldásból indulunk ki, azt látjuk, hogy habár kiindulhatunk abból, hogy 5 különböző személy van - pl. N1-N2-N3-F1-F2, N3-N1-N2-F2-F1 - a személyek egymás közötti cserélődése (mint, pl. az előző két példa is) nem számít külön esetnek, mert minket csak nemük érdekel, és ez mindkét esetben N-N-N-F-F. Ahhoz, hogy ezt kiküszöböljük, az 5 különböző személyre vonatkoztatott esetek számát elosztjuk a 2 nem egymás közötti sorrendjeinek szorzatával (3! és 2!), ezzel kiszűrve a példában is említett eseteket. (Azért kell szorozni, mert ha külön választjuk a férfiak és a nők egymás közötti sorrendjét, függetlenül az 5 helyen elfoglalt pozíciójuktól, ezek a sorrendek - pl. N3-N2-N1, F2-F1, N1-N2-N3 - variálhatók egymással.)

Összefoglalva, ilyen esetekben úgy kapjuk meg az eredményt, hogy vesszük azt az esetet, ahol nincsenek csoportok (pl. F/N), majd elosztjuk a csoportokon belüli sorrendek (2!,3!) szorzatával. Nem tudom, hogy mennyire volt követhető, annyit hozzátennék, hogy bár 80% feletti emelt matek érettségit tettem, egyetemig nem értettem én sem, és pusztán annyit tanultam meg, hogy melyek azok a feladatok, ahol ezt a képletet kell alkalmazni. Viszont ha egyszer megérted, akkor utána az egész kombinatorika jóval egyszerűbb lesz majd