Valaki jó matekból? Segít a matekházimban?

1.

A négyzetszámok 5-ös maradéka lehet 0, 1, 4. Ebből következően, ha legalább négy négyzetszámot adsz meg, akkkor lesz kettő olyan, amelyiknek az 5-ös maradáka ugyanannyi, így azok különbsége osztható 5-tel. Így legfeljebb három, a feltételeknek megfelelő négyzetszámot tudsz megadni. Pédául: (1, 4, 25)

2. 100=50*2, 998=499*2, |H|=450

a) A legkisebb: 102=17*6, a legnagyobb: 996=166*6, így |A|=166-16=150 db ilyen szám van.

b) A 7-tel oszható párosok a 14-gyel oszthatók.

legkisebb: 112=16*7, legnagyobb: 994=142*7, a héttel oszthatók száma:

|B|=142-15=127, a 7-tel nem oszthatók száma: 450-127=323

c) A 42-vel osztható számokat keressük

A legkisebb: 126=3*42, legnagyobb: 966=23*42, így a 6-tal és 7-tel oszthatók száma |A metszet B|=23-2=21

d) szitaformula

|A unió B|=|A|+|B|-|A metszet B|

e)

|A szimmetrikus differencia B|=|A unió B|-|A metszet B|

1. Egy szám akkor osztható 5-tel, hogyha utolsó számjegye 0 vagy 5. Tudjuk, hogy ha két számot kivonunk egymásból, akkor az utolsó számjegy csak a két szám utolsó számjegyétől függ, azok különbsége lesz, illetve ha a kisebből vonjuk ki a nagyobbat, akkor az eredményhez hozzá kell adni 10-et (például 32-16 esetén 2-6=-4, ehhez adunk 10-et, akkor -4+10=6 lesz, tehát a különbség eredménye 6-ra fog végződni), de mivel az 5-tel oszthatóságot nem befolyásolja, hogy melyik számot vonjuk ki melyikből (például 43-38=5, 38-43=-5, mindkettő osztható 5-tel), ezért elég nekünk csak arra koncentrálni, hogy az egyesek helyén lévő számok különbsége 0 vagy 5 legyen.

Nézzük meg, hogy milyen számokra végződnek a négyzetszámok. Szerencsére ami az összeadásra igaz volt, az a szorzásra is, vagyis csak az utolsó számjegyek szorzata szerint változik az eredmény utolsó számjegye. Emiatt csak emeljük négyzetre az egyjegyű számokat:

0^2 = 0

1^2 = 1

2^2 = 4

3^2 = 9

4^2 = 16, ami 6-ra végződik

5^2 = 25, ami 5-re végződik

6^2 = 36, ami 6-ra végződik

7^2 = 49, ami 9-re végződik

8^2 = 64, ami 4-re végződik

9^2 = 81, ami 1-re végződik

Értelemszerűen ha két szám ugyanolyanra végződik, akkor különbségük 0-ra, így osztható lesz 5-tel, tehát két ugyanolyan végződésű nem lehet benne ahhoz, hogy különbségük ne legyen osztható 5-tel. Nézzük, hogy a különbségek mikor lesznek 5-tel oszthatóak:

5-0, 6-1, 9-4, szerencsére két táborra tudjuk őket szakítani:

5;6;9 és 0;1;4, a két táborban semelyik kettő különbsége nem 0 vagy 5. Ha viszont bármelyik táborba választunk még egy számok a lehetőségek közül, akkor vagy lesz két ugyanolyan, vagy lesz olyan, amelyik a fenti felsorolás szerint "párt" alkot (különbségük 5 lesz). Ez azt jelenti, hogy 3 négyzetszám megadható úgy, hogy semelyik kettő különbsége nem osztható 5-tel, de bárhogyan adunk meg 4 négyeztszámot, valamelyik kettő különbsége már osztható lesz 5-tel. Tehát legfeljebb 3 négyzetszám adható meg.

2. a) Egy szám akkor osztható 6-tal, hogyha egyszerre osztható 2-vel és 3-mal, vagyis páros és számjegyeinek összege osztható 3-mal. Ezt a megállapítást csak arra fogjuk használni, hogy a legkisebb és a legnagyobb ilyen számot megtaláljuk; a legkisebb ilyen a 102, a legnagyobb a 996.

Érdemes tudni, hogy az "azonos maradékosztályba tartozó" számok mindig ugyanannyival követik egymást, esetünkben a 6-tal osztható számok 6-tal fogják egymást követni (102, 108, 114, stb.), és ezt fogjuk felhasználni. A trükk az lesz, hogy mindegyik számot osztjuk 6-tal, ekkor az eredmény azt fogja megmutatni, hogy a (6-tól számolva) hányadik 6-tal osztható számunk van. Például ha elosztom a 600-at 6-tal, akkor 100-at kapok, tehát a 6-tal osztható számok sorában a 600 a 100. szám. Tegyük meg ugyanezt az első és az utolsó számmal;

102 : 6 = 17, tehát a 102 a 17. szám

996 : 6 = 166, tehát a 996 a 166. szám.

Innen már csak az a kérdés, hogy 17-től 166-ig hány darab szám van. Adná magát, hogy 166-17=149, de az ilyen feladatokra érdemes megjegyezni, hogy ha az lenne a kérdés, hogy 1-től 2-ig hány szám van, akkor a két szám különbsége 2-1=1, így 1-től 2-ig 1 számnak kellene lennie, pedig nyilván 2 van. Ha így akarunk számolni, akkor mindig hozzá kell adni 1-et az eredményhez, hogy kijöjjön a keresett érték, tehát 149+1=150 szám lesz. Ugyanez a számítás másik megközelítésben; azt tudjuk biztosan, hogy 1-től számolva hány darab szám van, például 1-4758-ig 4758 darab szám van, és ez bármelyik számra így van, vagyis 1-től k-ig (k>=1) k darab szám van. Ha ezt tudjuk, akkor 1-től 166-ig 166 darab szám van, 1-től 16-ig 16, és ennek a kettőnek a különbsége fogja megadni, hogy 17-től 166-ig hányan vannak; 166-16=150.

b) Ennél előbb azt számoljuk meg, hogy hány 7-tel osztható van (a fenti módszert itt is lehet használni), majd az eredményt kivonjuk a H halmaz számosságából (vagyis mennyien vannak a halmazban). Az előzőek alapján, szerintem, meg tudod már oldani.

c) Ha egy szám osztható 6-tal és 7-tel, akkor osztható 6*7=42-vel. Általában ez nem így van, de mivel a 6 és a 7 relatív prímek (az 1-en kívül nincs másik közös osztjuk), ezért ez most működik. Innentől ugyanaz a séma, mint korábban, csak 42-re.

d) Ez már egy kicsit trükkösebb; ha megszámoltad, hogy hány 6-tal és hány 7-tel osztható szám van, és ezeket összeadod, akkor bizonyos számokat kétszer számoltál meg, mint például a 672 osztható mindkettővel. Amiket kétszer számoltunk, azokat le kell vonnunk egyszer, hogy mindenki pontosan egyszer legyen megszámolva. Szerencsére ezek a számok pont a 42-vel oszthatóak, tehát gyakorlatilag az lesz a válasz, hogy a)+b)-c).

e) Ehhez pedig a d)-ből csak még egyszer le kell vonnunk a 42-vel osztható számok darabszámát.