Legyen alfa az egyik gyöke az x^2-2x+4 eleme Q[x] polinomnak. Hány dimenziós Q[alfa] mint Q feletti vektortér (azaz határozzuk meg a |Q (alfa) :Q| bővítés fokát)?

A bővítés foka alfa minimálpolinomjának fokával egyezik meg. Racionális gyökteszttel ellenőrizhető, hogy a fenti polinomnak nincs racionális gyöke (a szóba jövő lehetőségek +/- 4 osztói), ezért, felhasználva, hogy másodfokú, irreducibilis. Ez azt jelenti a fenti polinom a minimálpolinom, tehát a bővités másodfokú.

(minimálpolinom = olyan irreducibilus Q feletti polinom, aminek alfa gyöke, könnyen látható maradékos osztással, hogy ez a legalacsonyabb fokú nemnulla polinom, aminek alfa gyöke, és skalárszorzó erejéig egyértelmű.

Ezt másképp megfogalmazva: azok a Q[x]-beli polinomok, amiknek alfa gyöke, ideált alkotnak, Q[x] főideálgyűrű, tehát az ideál generálható egy elemmel, ez a minimálpolinom)

polinomok maradékos osztásával:

x^7=(x^2-2x+4)(x^5+2x^4-8x^2-16x)+64x

alfát (=a) helyettesítve:

a^7=64a