Tudnátok segíteni a következő matekfeladatokkal?

1. Ha a második tagban helyettesíted az első n szám összegét, akkor szerintem tetszeni fog, amit látsz. (Ha ez megvan, akkor emelj ki az összegből 2001-et.)

2. Ez jó, annyit kell észrevenni, hogy a 91 osztható 7-tel (7*13, ez az egyetlen kétjegyű, ami becsapós, hogy prím-e, mert nincs rá oszthatósági szabály, és nem is a 49). Szóval csak azt ne felejtsd el ellenőrizni, hogy lehet-e 7 vagy –7 az összeg.

3. Először is – gondolom – fokokban mérve kell egész számoknak lenniük (amúgy a szögek összege 2*π kell legyen egy négyszögben, ami nem egész, és így egész számok összege sem lehet, tehát 0). Szóval 2*π = 360°. Keresünk 4 pozitív egész számot, ami számtani sorozatot alkotnak, és az összegük 360:

a + (a + d) + (a + 2*d) + (a + 3*d) = 360,

ahol a és d is egészek (ha a nem volna az, akkor az első tagnál bukna a dolog, ha d, akkor a másodiknál). Illetve az általánosság rovása nélkül feltehetjük, hogy a legkisebb szög az a, így d sem lehet negatív. A zárójeleket kibontva és 2-vel osztva

2*a + 3*d = 180,

az a kérdés, hogy hány megoldása van ennek az egyenletnek (ahol a pozitív egész, és d nem negatív).

Hű, ha ilyen aprólékosan írom, sose jutok a végére, szóval segíthetnél, hogy hol akadtál el.

1. (1000+1)*(2000+1) = 2003001

2. n + n+1 + ... + n+13 = 14n + 7*13 = 7*(2n + 13)

3. 4alfa + 6d = 360

d =/= 1, mert 354 nem osztható 4-gyel.

d = 2, ...

1. Elég lett volna ennyi is:

2001 + 2*(1 + 2 + … + 2000) = 2001 + 2*2000*2001/2 =

= 2001 + 2000*2001 = (1 + 2000)*2001 = 2001*2001 = 2001^2,

ami négyzetszám.

2. Egyrészt de, az egészek körében a prímek –1-szeresei is prímek, tehát a –7 az jó, és mutatja, hogy igen a válasz, másrészt ha a

14*n + 91 = 7 (--> 14*n = –84 --> n = –6)

egyenletet megoldjuk, akkor látszik, hogy n = –6-ra az összeg 7, amibe a számelméletet kevésbé mélyen tanult matektanárok se tudnak belekötni.

3. Az is jó, amit anonymousreview60 elkezdett, de talán egy picit gyorsabb, ha d-re rendezel, mert akkor 1-esével, hanem 3-asával jönnek a találatok a próbálgatásnál:

d = (180 – 2*a)/3,

hány darab pozitív egész a lehet, amire 180 – 2*a osztható 3-mal, és így d egész? Ugye az is kell, hogy d nem lehet negatív, tehát a legfeljebb 90, és ha elkezded nézni, az fog kiderülni, hogy csak a 3-mal oszthatók jönnek szóba. Szóval a lehet

3, 6, 9, …, 90.

Hány darab szám van ebben sorban? Az a megoldás.

Akkor elszámoltad, mert 4004001-nek kell kijönnie.

2-es; ha sokszögek belső szögéről van szó, akkor mindig "°"-ról van szó. Persze el lehet lamentálgatni rajta, hogy radiánban mi a helyzet, de ne felejtsük el, hogy vannak más szögmértékegységek is, mint például a gradiens (újfok), amiben a négyszög belső szögeinek összege 400^g, és máris teljesen másik feladatot kapunk.

A második feladatnál így tudunk eljárni:

7*(2n+13)=p

Ez az egyenlőség csak úgy teljesülhet, hogyha p=7 vagy p=-7, ekkor 2n+13 értéke csak 1 vagy -1 lehet.

Tehát

2n+13=1, erre n=-6 adódik

2n+13=-1, erre pedig n=-7, tehát két esetben is lehet prímszám az összeg.

3. Legyen a legkisebb szög 0°<a<=90° (azért ez a kikötés, mivel ha a legkisebb szög nagyobb 90°-nál, akkor a négy szög összege nagyobb 360°-nál, ami nem lehet), d>=0 a differencia, ekkor

a+a+d+a+2d+a+3d=360°, összevonunk

4a+6d=360°, osszuk 2-vel az egyenletet:

2a+3d=180°, rendezzük a-ra az egyenletet:

a = (180°-3d)/2

A jobb oldali hányados csak akkor lehet egész, hogyha d páros. Ennek a hányadosnak azt is kell tudnia, hogy 0°-nál nagyobb és legfeljebb 90°, tehát

0° < (180°-3d)/2 <= 90°, szorzunk 2-vel:

0° < 180°-3d <= 180°, kivonunk 180°-ot:

-180° < -3d <= 0°, osztunk (-3)-mal, fordul a reláció:

60° > d >= 0°

Ebből ki kell válogatnod a páros d-ket.

Ha ez megvan, akkor itt még nincs vége a feladatnak, mert meg kell nézned, hogy van-e olyan eset, hogy valamelyik szög (illetve a legnagyobb, érthető okokból) 180°-ra jön-e ki, mivel olyan belső szöge nem lehet a négyszögnek. Ehhez meg kell oldanunk a

180°+180°-d+180°-2d+180°-3d=360° egyenletet, amire d=60° jön ki, de az meg úgysem lehet, mivel d<60°.