Hasonló-e az a két háromszög, amelynek oldalai 3 cm,4 cm,5 cm, illetve 5 cm,6 cm,7 cm?

Nem. Két hasonló alakzat megfelelő oldalainak arányai megegyeznek. És 3/5 =/= 4/6 =/= 5/7, ezért nem hasonlóak a háromszögek.

Hasonló háromszög pl. 3; 4; 5 és 6; 8; 10 oldalú háromszögek, mert ott fennáll az egyenlőség: 3/6 = 4/8 = 5/10

Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, hogyha egymásnak megfeleltethető oldalaik hányadosa megegyezik (ezt a hányadost szoktuk hasonlósági aránynak hívni és λ (lambda)-val jelölni). Mivel az oldalak kétféleképpen oszthatóak el egymással (kicsi/nagy és nagy/kicsi), ezért valójában két hasonlósági arány létezik, de a feladat jellege adja meg, hogy melyikre van szükségünk.

Ebben a feladatban mindegy, hogy melyiket választjuk, de következetesen ha egyszer nagy/kicsi-t számolunk, akkor a többinél is ezt a hányadost kell felírnunk.

Értelemszerűen az egymásnak megfeleltethető oldalak a két legkisebb, a két legnagyobb meg a két középső.

A két legkisebb hányadosa: 3/5 = 0,6

A két középső hányadosa: 4/6 = 0,666...

És itt meg is állhatunk, mert a két hányados nem egyezik meg, tehát a két háromszög nem lehet hasonló.

Ez a feladat máshogyan is megoldható; tudjuk, hogy a 3-4-5 egy Pitagoraszi számhármas, vagyis ezekre teljesül Pitagorasz tétele: 3^2+4^2=5^2, vagyis 25=25. Ugyanez a tétel nem teljesül a másik háromszögre, mivel 5^2+6^2=61, 7^2=49, és 61=/=49, tehát ez a háromszög nem derékszögű, így hasonló sem lehet az előbbivel.

(Azt viszont meg kell jegyezni, hogy ha véletlenül ez is derékszögű háromszög lenne, akkor ebből nem következne semmi, mivel két derékszögű háromszög nem feltétlenül hasonló egymással, akkor ott még külön kell számításokat végezni. Ez csak akkor működik jól, hogyha az egyik derékszögű, a másik meg nem, akkor nem hasonlóak.)