Valaki segítene ebben a feladatban?

Kezdjük azzal, hogy az APQ háromszög és a BPR háromszög területe szükségszerűen ugyanakkora; ezt onnan tudjuk, hogy a feladat nem ad konkrét betűzést a háromszöghöz, tehát ha veszünk egy háromszöget. amit betűzünk valahogyan, majd veszünk az előzővel egybevágó háromszöget, de az A és B elnevezéseket fordítva tesszük meg (amiből következően, a C-t leszámítva, az összes többi betű felcserélődik), akkor az így kapott APQ háromszögre is igaznak kell lennie az állításnak, következésképp az APQ és a BPR háromszögek területe egyenlő.

Mivel APQ=PBR és APQ=PRCQ, ezért PBR=PRCQ, vagyis ennek a három síkidomnak ugyanakkora a területe, így elég csak annyit belátnunk, hogy az APQ háromszög harmada a nagy háromszög területének. Ha ezt esetleg nem vennénk észre, akkor a megoldás menete úgy menne, hogy megadjuk az APQ háromszög területét, aztán a BPR háromszögét (ami pont ugyanakkora lesz, mint az előző), ezeket kivonva a nagy háromszög területéből a négyszög területét kapjuk, ami szintén pont ugyanakkora lesz, mint az előbbi kettő.

Mindenesetre most koncentráljunk az APQ háromszög területére. Csalok egy kicsit, és azt mondom, hogy az AB oldal hossza legyen 3 egység; ezt azért tehetem meg, mert ha veszünk egy ehhez hasonló háromszöget, akkor a szakaszok és a területek aránya nem változik, és mindegyik háromszöghöz rajzolható olyan hasonló háromszög, melynek ez a konkrét oldala 3 egység hosszú. (Illetve azt is lehet mondani, hogy tegyük fel, hogy az adott háromszög AB oldala 25,784 cm hosszú, akkor önkényesen definiálok egy másik mértékegységet, és azt mondom, hogy ennek a hossza legyen 3 salala, így én ekkor végig salalában számolok, és ha szükséges, bármikor visszatérhetek cm-be, viszont a lényeg, hogy bármikor tudok 3 salalával számolni, vagyik a 3-as mérőszámmal). Persze enélkül is belátható, csak akkor kicsit többet kellene írni, úgyhogy a te feladatod majd ezek alapján általánosságban megoldani.

Mivel az AB oldal hossza 3, így AD=DE=DB=1 hosszú. Mivel a DQ és PC szakaszok párhuzamosak, ezért az APC háromszögben fel tudunk írni egy párhuzamos szelők tételét, ami így néz ki:

AD/AP = AQ/AC, mivel AD=1, ezért

1/AP = AQ/AC, és itt AP hosszára vagyunk kíváncsiak, tehát AP-re rendezzük az egyenletet, és azt kapjuk, hogy

AP = AC/AQ

A háromszög területének meghatározásához szükségünk van a magasságára is. Szerencsére az ADQ háromszög magassága megegyezik az APQ háromszög magasságával, tehát ha előbbit ki tudjuk számolni, akkor utóbbit is megkapjuk. ADQ és az APC háromszögben ha behúzzuk a magasságokat, akkor egy párhuzamos szelőszakaszok tételét tudunk felírni; legyen az ADQ háromszög magassága m, az APC-é M, ekkor

m/M = AD/AP, viszont AP=AC/AQ, és AD=1, tehát

m/M = 1/(AC/AQ) = AQ/AC, tehát m=M*AQ/AC

Így már a területet fel tudjuk írni:

T(ABC) = oldal*az oldalra merőleges magasság/2 = 3*M/2

T(APQ) = (AC/AQ)*(M*AQ/AC)/2, szerencsére AC és AQ kiesik a képletből, így marad M/2, és ez azért jó nekünk, mert láthatóan a kisebbik háromszög területe harmada a nagyobb háromszög területének.

Ha az elején nem vettük volna észre, hogy APQ=BPR, akkor ugyanezen gondolatmenetek szerint kijönne az is, hogy T(BPR)=M/2, de ezzel a megállapítással ezt megspóroltuk.

Ezek alapján a fennmaradó négyszög területe csak M/2 lehet, tehát a terület pont ugyanakkora. Ezzel beláttuk az állítást.

Fenntartom, hogy lehet ennél egyszerűbb számítási mód is, viszont nem használtam olyan eszközöket, amelyek középszinten ne lennének elérhetőek.