Mi a megoldasa a kovetkezo diferencialis egyenletnek y'+y*cosx=sinx*cosx ha y (0) =1?

Ez egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet:

[link]

Amit 1-es ír, nekem nem jön be. De mindegy is, sokféle módszer van az ilyenekre, csak a Bólyai könyvben van 3 féle. Nézzük most azt, amikor az egyenlet általános megoldása a homogén és az inhomogén megoldások összegéből kapjuk:

homogén rész: y'+y*cosx=0. Ezt rendezve y'/y=-cosx vagyis ln|y|=-sinx+konstans

Vagyis a homogén megoldás yH=C*e^(-sinx).

Az inhomogén résznél a próbafüggvény módszere használható. Mivel a jobboldal (zavaró függvény) 1/2*sin(2x) alakú, így az ajánlott próbafv. yp=A*sin(2x)+B*cos(2x).

ezt visszaírjuk az egyenletbe:

2Acos(2x)-2Bsin(2x)+{ A*sin(2x)+B*cos(2x) } *cosx=sin(2x)/2.

Itt az a lényeg hogy sin-nak, cos-nak a magasabb hatványait többszörös szögek szögfüggvényeként kell felírni. Utána módusok szerint az együtthatókat egyeztetjük, és kiadódik A, B értéke.