Matekosok! A 4x+5+x=9x-3 egyenletnek mi a gyöke? Hogyan tudnák nekiálnni? Buták kíméljenek

Az egyenlet olyan, mint a mérleg. A mérleg két oldalán ugyanakkora súly van. Ha most a mérleg mindkét oldalához hozzáteszel pontosan ugyanannyi súlyt, vagy elveszel belőle, attól még a mérleg egyensúlyban marad, hiszen mindkét oldal esetén ugyanannyihoz ugyanannyit adsz hozzá. Egyenletben megfogalmazva mondjuk valahogy így néz ki a dolog:

4 = 4

Ha most mindkét oldalhoz hozzáadsz _ugyanannyit_, attól még az egyenlőség fennáll

4+2 = 4+2

6 = 6

~ ~ ~ ~ ~

Ha a mérleg mindkét oldalán azonos súly van, akkor akkor is egyensúlyban marad a mérleg, ha mindkét oldalt megfelezed, elharmadolod, vagy éppen mindegyiket megkétszerezed, megháromszorozod, stb… Egyenletben megfogalmazva:

4 = 4

4*3 = 4*3

12 = 12

vagy

4 = 4

4/2 = 4/2

2 = 2

~ ~ ~ ~ ~

Remélem eddig érthető. Ha nem, akkor próbáld elképzelni ezt a mérleget, és próbáld belátni, amit fent leírtam.

Az ismeretlen, az ismeretlen. Mondjuk tudjuk, hogy van öt doboz gyufánk, meg még nyolc szál a mérleg egyik oldalán. A másik oldalán meg van négy doboz gyufánk, meg 48 szál. Hogy mennyi gyufa van egy dobozban, azt nem tudjuk. Ezzel a mérleggel (egyenlettel) pont ezt tudjuk kideríteni. Ehhez az kell, hogy a dobozban levő gyufák számát jelöljük x-el. Ekkor az „öt doboz gyufa, meg még nyolc szál” az így fog kinézni:

5*x + 8

vagy ismeretlen esetén a szorzásjelet el szoktuk hagyni, és rövidebben így írjuk:

5x+8

A mérleg másik oldalán meg négy doboz gyufa van, meg még 48 szál, amit így írunk:

4*x + 48

vagy rövidebben:

4x+48

A mérleg egyensúlyban van, tehát mindkét oldalán ugyanannyi gyufaszál van. Ezt írjuk fel egyenlet formájában:

5x+8 = 4x+48

Ha megoldjuk az egyenletet, akkor pontosan meg fogjuk kapi, hogy mennyi az x, azaz hány gyufaszál van egy dobozban.

~ ~ ~ ~ ~

Oké, ha ez megvan, akkor adott a mérleged. A mérleg egyik oldalán 4x+5+x van. A mérleg másik oldalán meg 9x-3.

Első lépésként az ismeretleneket vonjuk össze. Remélem az megvan, hogy egy összeadás tagjai felcserélhetőek:

4x+5+x = 4x+x+5

Remélem az is érthető, hogy 4x+x = 5x

Tehát 4x+5+x = 4x+x+5 = 5x+5

Nézzük hogy is alakult az egyenletünk:

4x+5+x = 9x-3

5x+5 = 9x-3

Most annyi a dolgunk, hogy az ismeretlent (x-et) tartalmazó rész „át kell vinni” a bal oldalra, amiben meg nincs ismeretlen, azt „át kell vinni” a jobb oldalra. Vagy mondhatnám azt is, hogy a bal oldalról „el kell tüntetni” azt, amiben nincs ismeretlen, a jobb oldalról meg „el kell tüntetni” azt, amiben van ismeretlen. Hogyan lehet ezt véghezvinni? Kezdjük azzal, hogy az egyenlet jobb oldalán ott van egy 9x, amit el kellene tüntetni. Hát nemes egyszerűséggel vonjuk ki az egyenlet mindkét oldalából 9x-et:

5x+5 = 9x-3

5x+5-9x = 9x-3-9x

5x-9x+5 = 9x-9x-3

-4x+5 = 0-3

-4x+5 = -3

A bal oldalon meg van egy 5-ös, amit el kellene tüntetni, vagy átvinni a jobb oldalra. Ezt meg úgy tudjuk megtenni, hogy az egyenlet mindkét oldalából kivonunk 5-öt.

-4x+5 = -3

-4x+5-5 = -3-5

-4x+0 = -8

-4x = -8

Alakul, csak a bal oldalon még mindig nem x van, hanem annak a -4-szerese. Osszuk el tehát mindkét oldalt -4-el:

-4x = -8

-4x / -4 = -8 / -4

x = 2

~ ~ ~ ~ ~

Térjünk vissza ide:

5x+5 = 9x-3

És nézzünk innen egy másik megoldást. A jobb oldalon több x-van, mint a bal oldalon. Ez nem szerencsés. Fordítsuk meg a mérleget. Ettől a mérleg még egyensúlyban marad.

9x-3 = 5x+5

Bal oldalról tüntessük el a -3-at, úgy, hogy mindkét oldalhoz hozzáadunk 3-at.

9x-3 = 5x+5

9x-3+3 = 5x+5+3

9x = 5x+8

A bal oldalról meg tüntessük el az 5x-et úgy, hogy mindkét oldalból vonjunk ki 5x-et:

9x = 5x+8

9x-5x = 5x+8-5x

4x = (5x-5x)+8

4x = 0+8

4x = 8

Vegyük mindkét oldal negyedét:

4x = 8

4x/4 = 8/4

x = 2

Ez az egyenlet megoldása, vagy máshogy fogalmazva az egyenlet gyöke. A gyök a gyökér szóból ered, tulajdonképpen azt fejezi ki, hogy ez az x volt a gyökere annak a problémának, feladatnak, amit megoldottunk, és ennek az x-nek az értéke 2, tehát megtaláltuk az egyenlet gyökét (gyökerét).

Ha valamelyik lépés nem világos, akkor megpróbálhatom máshogy kifejteni. Figyelem! Attól, hogy elsajátítod, hogy mit hogyan kell csinálni, az nem jelenti azt, hogy érted is. Ha érted, akkor annak az érzésnek kell benned lennie, hogy „ez egyértelmű, hogyan is lehetne másképp?”. Például nem elég megjegyezned, hogy az egyenlet két oldala felcserélhető. Az nem tudás, ha tudod, hogy felcserélhető. Az a tudás, ha természetesnek, magától értődőnek tartod ezt, tudsz való életből hozott példát felhozni rá, el tudod magyarázni annak, aki nem érti, és nem azzal a magyarázattal, hogy „így tanultam én is”.

Tehát vizsgáld meg jól, hogy mit értesz, és mit nem. Ha valamit nem értesz, kérdezz vissza. Ez nem matekóra, nem kapsz rá jegyet, ha valamit nem értesz meg elsőre. Nem fogom számon kérni, hogy miért nem tudod azt, amit egyszer már elmagyaráztam, hanem megpróbálom elmagyarázni máshogy, hátha úgy érthetőbb.