Ha egy szögnek a szemközti oldala az átfogó, annak hogyan határozzuk meg a szinuszát?

Ugyan úgy, mint a másik szögekét.

[link]

Annyival lehet kiegészíteni, hogy az átfogóval szemközti szög biztosan derékszög, aminek a szinusza biztosan 1.

1-es; ugyanezen gondolatmenet szerint a 90° koszinusza hogyan jönne ki? A sin(90°) értéke nem azért 1, mert rossz a definíció.

Mivel derékszögű háromszögben a HEGYESSZÖGEK szinusza lett úgy definiálva, hogy a vele szemközti befogót osztjuk az átfogóval, ezért ezek alapján nem definiálható a 90°-os szög szinusza. Azonban vannak más számítások, amik igénylik azt, hogy a 90°-os szög szinusza 1 legyen. Például;

Egy háromszögben két oldal nagysága 1 cm és 2 cm hosszú, az 1 cm-es oldallal szemközti szög 30°-os. Mekkora a 2 cm-es oldallal szemközti szög nagysága?

Ebben a háromszögben fel tudjuk írni a szinusztételt; ha a 2 cm-es oldallal szemközti szög nagysága Ł, akkor a szinusztétel így néz ki:

sin(Ł)/sin(30°) = 2/1, rendezés után

sin(Ł) = 1 adódik, és itt megáll a tudomány, mivel mindegyik hegyesszög szinusza -érthető okokból- 1-nél kisebb. Szóval itt vagy az van, hogy ilyen adatokkal nem létezik háromszög, vagy az van, hogy csak a kérdéses szög szinusza nem értelmezhető (mert mondjuk nem hegyesszög). Ha megszerkesztjük ezt a háromszöget, akkor azt látjuk, hogy ez valójában egy derékszögű háromszög, tehát a kérdéses szög nagysága 90°. Viszont hogyha 90°, akkor a 30°-os szögre az alap definíció is felírható kell, hogy legyen, vagyis sin(30°)=1/2, és láthatóan ez így van.

Már csak ebből fakadóan természetes igény keletkezik arra, hogy a 90°-os szög szinuszát is tudjuk értelmezni, ezért megtesszük azt a definíciót, hogy a derékszög szinusza 1.

Hogy a cos(90°) értéke miért 0, az a koszinusztétel alkalmazhatóságából ered.