Halmazoknál mi a különbség az ekvivalencia jel és az egyenlőségjel között?
Úgy tudom a kettő ugyan azt jelenti.
A:={a;b;c;d} , B:={a;b;c;d}
A=B , vagy A~B
A kettő elvileg ugyan az.
válasza:A halmazoknál a hullámvonal nem általánosan használt jelölés.
Jelentheti például azt is, hogy a két halmaz között kölcsönösen egyértelmű ráképezés (bijekció) hozható létre.
válasza:Egyenlőség: A és B halmaz egyenlő, ha minden elemük megegyezik.
Ekvivalencia: A és B halmaz ekvivalens (egyenlő számosságú), ha létezik A->B bijektív leképezés.
Bijektív leképezés: Olyan leképezés, amely injektív és szürjektív is.
---
Ezek után a következő megállapításokat tehetjük:
* A példádban a két halmaz egyenlő, mert pontosan ugyanazok az elemei: A=B.
* Ha van köztük bijektív leképezés, akkor a két halmaz ekvivalens: A~B.
Így érthető a különbség az egyenlőség (=) és az ekvivalencia (~) között?
válasza:Ez nem feltétlenül igaz.
Vegyük például a természetes számok és a pozitív természetes számok halmazát. Most direkt beleveszem a 0-át is a természetes számokba, ami vitatott, de a példa kedvéért...
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N+ = {1, 2, 3, ...}
A két halmaz nem egyenlő, hiszen az N+-ban nincs benne a 0-a, ugyanakkor ekvivalensek, mert létrehozható köztük bijektív leképezés.
A másik kérdésedre: A halmazban nincsen az elemeknek sorrendje. Ha veszel egy leképezést, akkor kapsz elempárokat, pl: {(0,1), (0,2), ...}. Az elempárokon belül van sorrend, ami kötött, de maguk az elemek között nincs sorrend.
válasza:A 4-ben hibár megállapítás van.
Ha két halmaz egyenlő, akkor ekvivalens is. (Ha minden elemhez önmagát rendeljük, akkor bijekciót kapunk.)
Ha két halmaz ekvivalens, akkor nem feltétlenül egyenlő.
Például:
{a,b,c} és {1,2,3} ekvivalensek, de nem egyenlők.
Ha
a-hoz rendeljük 1-t,
b-hez rendeljük 2-t,
c-hez rendeljük 3-t
bijekciót kapunk.
Tehát ekvivalenciánál a ~ jel valójában egy műveleti jel.
[Tehát két halmaz egyenlő, ha elemeik egyenlőek (kizárólag csak azonos elemeik vannak).]
[Két halmaz számossága megegyezik, ha azonos számú elemet tartalmaznak.] [Vagy végtelen halmazoknál két halmaz akkor azonos, ha az egyik halmaz mindegyik eleméhez hozzárendelhető egy elem a másik halmazból, ekkor a számosságuk azonos (alef null), illetve van még a kontinuum pl. a valós számok halmazánál.]
Viszont két halmaz akkor ekvivalens, ha elemeik száma megegyezik, és ha az egyik halmaz elemeihez (bijekcióval) hozzárendelhetjük a másik halmaz elemeit. Nem feltétlenül kell hozzárendelnünk, de megtehetjük.
Ergo az ekvivalencia jel a két halmaz közti kapcsolatot is jelzi, vagy jelenti.
Pl. végtelen esetében, a természetes számok halmaza és az egész számok halmaza ekvivalens, mert bijektív módon hozzárendelhetők az egyes elemek egymáshoz az egyes halmazokból. Viszont a természetes számok és a valós számok halmaza már nem ekvivalens, mert az előbbi nem működik. Tehát ~ jelenti a lehetőséget a bijektív leképzésre a két halmaz elemei között. Vagyis A~B akkor, hogyha |A|=|B|, és A(x) --> B(x) és fordítva (ez a bijektív leképzés akart lenni csak nem tudtam hogy jelölni).
válasza:Egy univerzumban a "részhalmaz" egy reláció, és annak van jele. ( [link]
Az "eleme" nem reláció, mert nem halmazok közötti kapcsolat.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!