Valószínűségszámítás! Geometriai valószínűség! Miért nem jó ez így?

Ez egyébként nem egyértelmű feladat, tipikus alappéldája annak, hogy ugyanazt más-más sűrűségfüggvényekkel is leírhatunk.

Az 5/9 vélhetőleg azzal a feltétellel jön ki, hogy a pontok távolságát a sugaraik szögével "mérjük", azaz max. 60 fokot zárhatnak be.

Ez esetben mindkét pontnak van egy polárkoordinátája, ami 0fok és 180 fok között lehet.

Vázlatosan írom:

Ábrázolod egy derékszögű koord-rdsz-ben a pontpárok "koordinátáit". Ekkor egy 180fok oldalú négyzetet kapsz, amiben az egyes pontpároknak egy-egy pont felel meg.

Ebben a "rossz" terület a bal felső és a jobb alsó sarokban egy-egy derékszögű háromszög, amelyek befogói 120fokosak, azaz 2/3-szorosa a négyzetoldalnak.

Ezek területe összesen (2/3)^2=4/9.

A jó terület tehát 5/9.

De ez csak EGY megoldás a sok lehetséges közül.

Pl. a pontpárokat a felezőpontjukkal is beazonosíthatod, amire így az teljesül, hogy gyök(3)/2*r-nél nagyobb távolságra legyen az origótól. Ekkor tök más jön ki valószínűségre, mert más a sűrűségfüggvény.

Egyrészt ott van hibád, hogy a jó körív 120 és nem 60 középponti szöghöz tartozik mert mind a két irányban van távolság*, másrészt meg ott, hogy nem mindig ekkora, mert lelóghat a félkörívról, és akkor kisebb.

*ha meg a baloldali pontot akarnád rögzíteni, akkor annak az eloszlása nem egyenletes