Határozd meg a háromszög súlypontjának a háromszög köré irt körre vonatkozó hatványát. Tudnátok segíteni?

Az S súlypont O középpontú, r sugarú körre vonatkozó hatványa:

OS^2-r^2.

Nem tudunk többet a háromszögről?

T a Heron-képlettel számolható.

r=abc/(4T)

Gondolkodom tovább.

[link]

Ezt kéne végigszámolni. Ha lesz időm, akkor megnézem a GeoGebra CAS-sal.

5-ösért?

Legyen a súlypont az origó, a csúcsok helyvektorai A,B,C. A+B+C=(0,0).

Legyen a körülírt kör normált egyenletének a bal oldala p: x² + y² + Ex + Fy + K. Mivel a csúcsok rajta vannak a körön, p(A)=p(B)=p(C)=0.

Tétel: ha adott egy kör a fenti alakú egyenletével (azaz, amikor a főegyüttható 1), akkor egy P pont körre vonatkozó hatványa éppen p(P). Ez egy jó tétel, érdemes ismerni. Bizonyítsd be!

Tehát a feladatban szereplő "súlypont háromszög köré irt körre vonatkozó hatványa" éppen az origó körre vonatkozó hatványa, p(0) = K, a konstans tag.

Innen: 0=p(A)+p(B)+p(C)=A^2+B^2+C^2 + 3K. (Vektor négyzete alatt az önmagával vett skalárszorzatot értem. Az E és F-es tagok kiesnek, mert A+B+C=(0,0) x-ben és y-ban is.

A keresett K tehát K=-1/3 (A^2+B^2+C^2).

Már csak (A^2+B^2+C^2)-t kell kifejezni az oldalakkal.

Tétel: A^2+B^2+C^2 = 1/3 (a^2 + b^2 + c^2), ahol a,b,c a háromszög oldalai. Ennek a bizonyítása trivi.

Ezek alapján a válasz -1/9 (a^2 + b^2 + c^2).

*p(0) helyett p((0,0)).

(Csak hogy jobban elkülönüljön a 0-vektor a 0 valós számtól.)