8 illetve 10 sík legfeljebb hány részre osztja a teret?

Az első pár eset könnyen látható:

r(1)=2

r(2)=4

r(3)=8

r(4)=15

Ezután nehéz szemléletből folytatni, ezért indokolni kell.

A bizonyítás sok helyen megtalálható:

Dimenziónként kell lépegetni. Először azt kell belátni, hogy n pont az egyenest (n+1) részre osztja.

Erre lehet visszavezetni a síkbeli esetet:

a síkrészek száma: s(n+1)=s(n)+n+1.

Ebből kis ötlettel könnyen levezethető, hogy

s(n)=n(n+1)/2+1

(Ebben rejlik egy klassz kombinatorikus bizonyítás is...)

Most ha a síkok által létrehozott térrészek maximális számát r(n)-nel jelöljük, akkor kis ötleteléssel látható, hogy: r(+1)=r(n)+s(n)

Ebből szintén egy ügyes felírással igazolható, hogy

r(n)=n(n^2+5)/6+1

(Ez stimmel is a már bemutatott esetekre:

r(1)=1*6/6+1=2

r(2)=2*9/6+1=4

r(3)=3*14/6+1=8

r(4)=4*21/6+1=15)

Az általad kérdezett esetekben:

r(8)=8*69/6+1=93

r(10)=10*105/6+1=176

Előzőnek:

A 2.2.7. feladat jó az indukció bemutatására, csak kicsit "gazdaságtalan". A végére odaírnám, hogy a metszéspontok száma lényegesen egyszerűbb kombinatorikus okoskodással:

(n alatt a 4)

A teljes indukció "gyengéje", hogy a bizonyítandó képletet (összefüggést) meg is kell sejteni.

A kérdező feladatára egyébként konstruktívan, kombinatorikus gondolatmenettel így is megadhatjuk a megoldást:

(n alatt a 3)+(n alatt a 2)+n+1