Mi a megoldás? Hány fa van a kertben?

Az egyik megoldási mód, hogy észreveszed, hogy a fák száma szükségszerűen osztható kell, hogy legyen 3-mal, 15-tel, 10-zel, 5-tel és 30-cal, ezek legkisebb közös többszöröse (az a legkisebb pozitív szám, amely mindegyikkel osztható), az a 30, és azt is tudjuk, hogy ennek, és csak ennek a többszöröseire lesz igaz, hogy oszthatóak a fentiekkel. Tehát a fák lehetséges száma: 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...

Nézzük meg, mi a helyzet 30 fa esetén; ekkor

30*(2/3)=20 fa körül nyílik ibolya,

30*(7/15)=14 fa körül nyílik hóvirág,

30*(1/3)=10 fa körül nyílik pipacs

30*(1/10)=3 fa körül nyílik pipacs és hóvirág,

30*(1/5)=6 fa körül nyílik pipacs és ibolya,

30*(7/30)=7 fa körül nyílik hóvirág és ibolya.

Az adatokból már látható, hogy 20 nem lehet a közös, tehát 30 fánál többnek kell lennie.

Ezt végig lehet próbálgatni, amíg nem találjuk meg a jót. Lehet, hogy sokáig fog tartani, úgyhogy nézzük, hogyan lehet gyorsan megkapni a megoldást;

Tegyük fel, hogy x fa van a kertben, ekkor

(2/3)*x körül nyílik ibolya,

(7/15)*x körül nyílik hóvirág,

(1/3)*x körül nyílik pipacs

(1/10)*x körül nyílik pipacs és hóvirág,

(1/5)*x körül nyílik pipacs és ibolya,

(7/30)*x körül nyílik hóvirág és ibolya.

Ahogy az ilyen feladatoknál szoktuk, töltsük ki a Venn-diagramot belülről kifelé;

-középre megy a 20,

-a kettős metszetekbe (1/10)*x-20, (1/5)*x-20 és (7/30)*x-20

-így pedig azokba, amelyek nem alkotnak metszetet,

*az ibolyáéba (2/3)x-((1/5)x-20+(7/30)x-20-20)

*a hóvirágéba (7/15)x-((1/10)x-20+(7/30)x-20-20)

*a pipacséba (1/3)x-((1/10)x-20+(1/5)x-20-20)

Ha ezeket külön-külön összeadod (vagyis a Venn-diagram tartományaiba került kifejezéseket), akkor minden fa pontosan egyszer kerül megszámlálásra, így ezek összege pont x, kell, hogy legyen. Az így kapott egyenletet már meg lehet oldani könnyedén.

Ennél egyszerűbben úgy lehet eljárni, hogyha a logikai szitát használjuk; ha adott A;B;C halmazok, akkor elemeik számára fennáll, hogy

|A|+|B|+|C|-|AmetszetB|-|AmetszetC|-|BmetszetC|+|AmetszetBmetszetC|=|AunióBunióC|, ahol |AunióBunióC| mindhárom halmaz elemét pontosan egyszer tartalmazza (esetünkben az összes fát).

Legyen A={ibolyával körülvett fák}, B={hóvirággal körülvett fák}, C={pipaccsal körülvett fák}, ekkor

(2/3)x+(7/15)x+(1/3)x-(7/30)x-(1/5)x-(1/10)x+20=x, és ez az egyenlet szintén könnyedén megoldható.