Matek háziban segítene valaki? (vektorok)

Bármilyen irányba mutathat.

Ha e és k párhuzamos lenne, akkor hogyan értelmeznéd?

Segítek egy kicsit; képzeld el, hogy a k vektor egy gumiszalag, amelynek az egyik vége rögzített. Az egyszerűség kedvéért most legyen az e vektor párhuzamos a k vektorral úgy, hogy azonos a kezdőpontjuk, és egy irányba néznek (egyállásúak). Ekkor azt tennéd, hogy megfognád a gumiszalag másik végpontját, és azt az e vektor irányába és annak hosszával eltolnád/húznád. Ekkor a gumiszalag megnyúlik. Hasonlóan ha a k vektort az e vektorral megnyújtod, akkor kapsz egy másik vektort, ami hogy-hogy nem k+e-vel lesz egyenértékű.

Most még mindig az egyszerűség kedvéért legyen egy olyan e vektorunk, amely a k-val hegyesszöget zár be. Ebben az esetben ugyanazt tennéd, mint az előbb; megfognád a gumiszalag nem rögzített végét, majd eltolnád az e vektornak megfelelően. Ekkor azt látod, hogy a gumiszalag megnyúlt és elemelkedett a földről. Hát így nyúlik meg a k vektor is, és a vektorösszegzés szabályi szerint itt is a k+e vektort kapod eredményül.

Ezek fényében nem nehéz belátni, hogy igazából mindegy, hogy milyen állású vagy nagyságú az e vektor a k vektorhoz képest, mindig a k+e vektort kapjuk eredményül.

Esetedben 2e-vel meg a nyújtás, ezért a k+2e vektort kapod eredményül. (Adott esetben nem nyújtás fog történni, hanem zsugorítás, ez függ az e vektortól).

A probléma másik értelmezése:

Mivel máshogyan is lehet értelmezni a problémát, láthatod, hogy nem egyértelmű a feladat; úgy is lehet értelmezni, hogy egy olyan gumiszalagunk van, amely bármeddig nyújtható, de "végtelen tömegű", ami azt eredményezi, hogy hiába húznánk felfelé, az nem mozdulna, csak nyúlna. Tehát ha van egy e vektorunk, amellyel megnyújtjuk a gumiszalagot, akkor csak annyira fog megnyúlni, amennyire "vízszintesen húzod" az e vektort, vagyis az e vektor merőleges vetülete szerint. Ezt úgy tanultaták (ha tanultátok), hogy ha például a szánkót nem a földdel párhuzamosan, hanem valamilyen Ł szöggel húzod, akkor a szánkó fölfelé nem fog elinduli, vízszintesen pedig csak annyira, amennyi a húzóerő vízszintes komponense. Tehát ha az e vektor szerint húzzuk, és betartjuk a játékszabályokat, akkor vízszintesen e*cos(Ł) szerint fog változni a gumiszalagunk hossza, így k+e*cos(Ł) eredményt kapjuk, 2e esetén pedig k+2e*cos(Ł) lesz. Ha esetleg az e a nullvektor lenne (amely gyakorlatilag minden szöget bezár az összes vektorral, tehát Ł értéke tetszőleges), akkor pedig k+0=k vektor maradna eredménynek.

Persze ha a trigonometriát még nem vettétek, vagy csak a vektoros témakör elején jártok, akkor az első olvasat lesz a neked megfelelő.

Valóban, ezt félreolvastam.

Az egyik értelmezés az, amit már leírtam a koszinusszal, amennyiben az van, hogy k-ból 2k lesz, ekkor gyakorlatilag az összegbe kerülő e vektor hossza (skalárszorosa) a kérdés. Ehhez ezt a vektoregyenletet kell megoldanunk;

2*|k|=|k|+n*|e|*cos(£), ahol £ adott (mivel e adott), n skalár, az || pedig a vektor hosszát hivatott jelölni. Rendezés után

|k|/(|e|*cos(£))=n eredményt kapjuk, tehát a keletkezett vektor felírható

k+|k|/(|e|*cos£))*e alakban, már amennyiben az £ értéke nem 90°-os, mivel akkor egyrészt a megoldás ott nem értelmezhető, másrészt ha elkezdenénk felfefé húzgálni a gumiszalagunk végét, akkor érthető okokból az nem fog változni.

A másik értelmezés az, hogy az e vektorral párhuzamosn húzzuk a végét, addig, amíg a kapott vektor hossza nem lesz |2k| hosszú. Ekkor szintén az e vektor skalárszorosa a kérdés, de itt már egy kicsit nehezebb a történet. Itt már koszinusztétel kellene. Ha azt ismered, akkor levezetem.

Értelemszerűen a k nem nullvektor hossza még mindig |k|, a keletkező vektor hossza pedig |2k|=2*|k| lesz. Ez a két vektor a harmadik oldallal vagy egy egyenesre esik, vagy egy háromszöget határoz meg, de az eredmény az előbbi esetre is igaz lesz (Ł=0-ra).

Tegyük fel, hogy a harmadik vektort n*e nagyságú, ahol n skalár, ekkor annak hossza |n*e|=n*|e| nagyságú. Itt most n a kérdés, és azt a koszinusztétel segítségével fogjuk megkapni; mivel e adott, ezért az e és a k vektorok hajlásszöge adott. A nyújtás után a háromszögben a |k| és az n*|e| hosszú oldalak hajlásszöge így 180°-Ł lesz, így a koszinusztétel:

(2*|k|)^2 = |k|^2 + (n*|e|)^2 - 2*|k|*(n*|e|)*cos(180°-Ł), ebből pedig n-re egy másodfokú egyenlet kerekedik, amit n-re kell megoldani. Ha az megvan, akkor már fel tudod írni a keletkező vektort k+n*e alakban.

Ha k esetleg nullvektor lenne, akkor n értéke csak 0 lehet, ha pedig mindkettő nullvektor, akkor tetszőleges n-re 0+n*0=0.

Látható, hogy sokkal brutálabb, mint az előbbi értelmezése a feladatnak, és valószínűbbnek is tartom, hogy az volt a megfelelő értelmezés.

Túlbonyolítjátok. Elég ennyi, ezt követheti a többi blabla.

1. Kezdeti feltételek:

k és e ismert.

e legyen normált, azaz |e| = 1. Ha e nem normált, akkor normájuk: e_új = e_régi/|e_régi|. Ez a feladat kimenetén semmit nem változtat.

Az új vektor legyen m.

*: A vektorok közötti skaláris szorzás és a vektor skalárral való szorzásának jele.

2. A számítandó részek

m a k e-re merőleges részéből (k_em) és az e-vel párhuzamos (k_ep) részének 2-szereséből áll.

m = k_em + 2*k_ep

3. Számítás

k_ep = (k*e)*e, ti. k*e az a mennyiség, ami megmondja, hogy k milyen mértékben tartalmaz e-vel párhuzamos részt, azaz mekkora k vetülete az e-vel párhuzamos egyenesre. Értelemszerűen ezt e-vel szorozva kapjuk meg a k e-vel párhuzamos komponensét (ami szintén vektor).

k_em = k - k_ep

4. A megoldás behelyettesítéssel

m = k_em + 2*k_ep = k - k_ep + 2*k_ep = k + k_ep = k + (k*e)*e