30 Pénzérmét hányféleképpen lehet berakni 5 perselybe?

Kellene tudni, hogy hogyan állsz a kombinatorikával. Ezt a problémát ismétléses kombinációval lehet megoldani, ami viszont nem középszintű anyag.

Az ismétléses kombináció viszont visszavezethető az ismétléses permutációra, hogyha okosak vagyunk.

Leírom kicsiben, próbáld meg ráhúzni;

Legyen 5 érme és 3 persely. Írjunk le 5 darab 1-est, ezek szimbolizálják az érméket:

1 1 1 1 1

Most aszerint írjunk ezek közé választóvonalat, hogy melyik perselybe mennyi pénzt szánunk; ha az első kettőbe 2-2-t, akkor ezt kapjuk:

1 1|1 1|1

Ha mindet a középsőbe akarjuk tenni, akkor ez lesz:

|1 1 1 1 1|

Ha pedig a középsőt akarjuk üresen hagyni, az elsőbe pedig 3-at, akkor ez:

1 1||1 1 1

De az is előfordulhat, hogy csak a harmadikba szeretnénk pénzt rakni:

||1 1 1 1 1

Ebből azt a következtetést tudjuk levonni, hogy minden pénzosztáshoz van pontosan egy jelsorozat, ami azt leírja. Természetesen minden jelsorozat is pontosan egy elosztást jelöl, és hogy-hogy nem, ezek kölcsönösen egyértelmű helyzetben vannak, így ha az egyiket meg tudjuk számolni, akkor a másik is megszámolásra kerül. A jelsorozatok számát könnyen meg tudjuk adni az ismétléses permutáció képletével:

7!/(2!*5!), ami nem véletlenül (7 alatt a 2)-vel egyenlő.

Ez a gondolatmenet vezeti le az ismétléses kombináció képletét; ha van n ugyanolyan dolog, amit k helyre szeretnénk szétosztani, akkor egy olyan jelsorozatunk lesz, amely n és k-1 azonos jelből, összesen n+k-1 darab jelből áll, ezeket

(n+k-1)!/((k-1)!*n!)-féleképpen tudjuk sorbarendezni, ami épp

(n+k-1 alatt a k-1)-gyel egyezik meg.

Remélem, rá tudod húzni a gondolatmenetet az eredeti feladatra.