Miért a természetes számok számossága a legkisebb végtelen számosság? Mitovább, ezen természetes számok halmazának számossága miért egyezik meg az egész számok halmazának számosságával?

"Ezen természetes számok halmazának számossága miért egyezik meg az egész számok halmazának számosságával?"

Miből gondolod, hogy nem így kellene lennie?

Kezdjük az elejéről. Legyenek A és B véges halmazok. Ha A-nak legfeljebb annyi eleme van, mint B-nek, akkor A minden eleméhez tudjuk B különböző elemeit rendelni.

éldául ha A = {a, b, d, g, e} és B = {1, 5, ¨, g}, akkor

a-hoz rendelhetjük az 1-et,

b-hez az 5-öt,

d-hez a ¨-ot (-t,-et,-öt,-at, nem tudom a nevét ennek az izének),

g-hez a g-t,

és e-hez kéne még rendelni valamit, amit nem rendeltünk korábban, de ilyen nincs, tehát A-nak kevesebb eleme van, mint B-nek.

Szerepcserével A = {1, 5, ¨, g}, B = {a, b, d, g, e}:

az 1-hez rendelhetjük a-t,

az 5-höz b-t,

a ¨-hez (-höz,-hoz,-haz), d-t,

és g-hez mondjuk e-t.

Ezért ebben az esetben A-nak legfeljebb annyi eleme van, mint B-nek.

Harmadik példa, ha A = {*, -, "} és B = {ж, Ш, ы}, akkor

*-hoz rendelhetjük a Ш-öt,

--hez az ы-t és

"-hez a ж-t; tehát A-nak legfeljebb annyi eleme van, mint B-nek.

Aztán a ж-hez rendelhetjük például a --et,

a Ш-höz a " jelet, és

az ы-höz a *-ot; tehát B-nek legfeljebb annyi eleme van, mint A-nak.

Így A-nak és B-nek ugyanannyi eleme kell legyen.

Ebben a módszerben az a pláne, hogy nem kell tudnunk számolni, nem kell, hogy hány eleme van a különböző halmazoknak, akár számtalan is lehet.

> „Mitovább, ezen természetes számok halmazának számossága miért egyezik meg az egész számok halmazának számosságával?”

Ugye azt könnyen látod, hogy minden természetes számhoz rendelhetünk egy egész számot, tehát legfeljebb annyi természetes szám van, mint egész (a 0-hoz a 0-t, az 1-hez az 1-et, a 2-höz a 2-t, a 3-hoz mondjuk a -3-at a változatosság kedvéért, a 4-hez a -354-et, a többihez meg saját magát, hogy ne kelljen annyit írnom: az 5-höz az 5-öt, a 5-hoz a 6-ot,…)

De ugyanígy minden egész számhoz rendelhetünk egy természetes számot:

a 0-hoz a 0-t,

a –1-hez az 1-et,

az 1-hez a 2-t,

a –2-höz a 3-at,

a 2-höz a 4-et,

a –3-hoz az 5-öt,

…

tetszőleges n-hez a 2*n-et, ha pozitív, a 2*|n| – 1-et, ha negatív.

Ez így segít?

Vagy akár azt is lehet, hogy

a 0-hoz a 0-t,

a –1-hez az 2-t,

az 1-hez a 4-et,

a –2-höz a 6-ot,

a 2-höz a 8-at,

a –3-hoz az 10-et,

…

tetszőleges n-hez a 4*n-et, ha pozitív, a 4*|n| – 2-t, ha negatív.

Így máris úgy tűnhet egy avatatlan valakinek, hogy az egészek mennyivel kevesebben vannak, mint a természetes számok, mert például a 3-nak, 5-nek, 11-nek, 357421-nek nincsen egész párja. Pedig nem nyilván nem ez a helyzet, és a látszólagos ellentmondás feloldása annyi, hogy ez alapján nem 'kevesebb', hanem 'legfeljebb annyi' egész szám van, mint természetes szám.

Ha ez oda-vissza teljesül (márpedig ez így van), akkor ugyanannyian kell legyenek.

És ugye remélhetőleg így azt is látod, hogy miért jó a sorbarendezősdi, mert akkor látszik, hogy legfeljebb annyian vannak, mint a természetes számok.

> De hogy ? Hogy lenne már ugyanúgy ez az aleffel eljelölt legkisebb végtelen számosság ugyanaz a csak páros - avagy páratlan - természetes számokra, mint úgy ámblokk az összes természetes számra ?? Sõt tovább folytatom a sort: ha belevesszük mondjuk az egész számok halmazának negatívjait.

A "több, kevesebb, ugyanannyi, számosság" stb szavak ezekben a kontextuokban nem azt jelentik, ahogy te használni szoktad a mindennapi életben. Definiálva vannak halmazok valahogyan, és adva van rájuk egy definíció, hogy mikor mondjuk azt, hogy az egyik halmaznak több/kevesebb/ugyanannyi eleme van, mint a másiknak.

Tudom ajánlani a következő linket végigolvasásra:

[link]

Bevezeti, bemutatja és definiálja a fogalmakat.

> De hogy ? Hogy lenne már ugyanúgy ez az aleffel eljelölt legkisebb végtelen számosság ugyanaz a csak páros - avagy páratlan - természetes számokra, mint úgy ámblokk az összes természetes számra ?? Sõt tovább folytatom a sort: ha belevesszük mondjuk az egész számok halmazának negatívjait.

Ez egyszerű. Fogj egy halmazt, és próbálj meg kivenni belőle sorban elemeket.

Ha elakadsz, akkor véges sok eleme volt a halmaznak.

Ha nem akadsz el, akkor a vizsgált halmazban máris találtál aleph_0 darab elemet.

A #4-nek a második része erre ment bocsi:

> Továbbá az a levezetés sem egész tiszta, hogy miért nem létezik alefnullnál kisebb végtelen számosság ?

Ha valami konkrét levezetéssel van problémád, akkor linkeld vagy máold be.