Az abszolútértékes függvényekkel való műveletekkel kapcsolatban kéne segítség!?

"Értem, hogy mit kell csínálni, ha két abszolút érték függvényt összeadok, de kivonásnál nem."

Összeadásnál mit kell csinálni?

Ahogy az összeadásnál ez technika működik, úgy a kivonásnál is pont ugyanúgy működik a technika. Sőt, nem is kell abszolútértékes egyenletnek lennie.

De nem is ez a lányeg, hanem az, hogy algebrailag kell tudnod felírni.

Első körben magát az abszolútérték definícióját kell megértenünk, amit így szoktunk felírni:

|x|=

{x, ha x>0

{0, ha x=0

{-x, ha x<0

Magyarán a pozitív számok abszolút értéke önmaguk (például |3|=3, a 0 abszolút értéke 0, a negatív számok abszolútértéke pedig azok ellentettje (például |-3|=-(-3)=3). Ha ezt sikerül megértenünk, akkor a különféle abszolútértékes összeadós/kivonós függvényeket is meg tudjuk csinálni.

A lényeg: azt kell megnéznünk, hogy a különböző ||-eken belül a kifejezések értékei mikor milyen előjelűek. Az első feladat levezetése így néz ki:

Nézzük, hogy a 4x+8 milyen x-re mikor milyen előjelű lesz;

-a 4x+8<0 egyenlőtlenség megoldása x<-2

-a 4x+8=0 egyenlet megoldása x=-2

-a 4x+8>0 egyenlőtleség megoldása x>-2

Ugyanezt nézzük meg a 2x-6 kifejezésre is;

-a 2x-6<0 egyenlőtlenség megoldása x<3

-a 2x-6=0 egyenlet megoldása x=3

-a 2x-6>0 egyenlőtleség megoldása x>3

Az így nyert egyenlőtlenségeket össze kell vetnünk, és ezek alapján tudunk elindulni. Érdemes táblázatban felírni, akkor könnyebb átlátni, hogy ki kivel van;

-ha x<-2, akkor mindkét kifejezés előjele negatív

-ha x=-2, akkor az első kifejezés előjele negatív, a másodiké 0

-ha -2<x<3, akkor az első kifejezés előjele pozitív, a másodiké negatív

-ha x=3, akkor az első kifejezés előjele pozitív, a másodiké 0

-ha x>3, akkor mindkettő pozitív.

A fenti felsorolás alapján meg tudjuk határozni a függvény hozzárendelését, szakaszosan;

-ha x<-2, akkor ezt kapjuk; |4x+8|=-(4x+8), |2x-6|=-(2x-6), tehát

|4x+8|-|2x-6| = -(4x+8) - (-(2x-6)) = -4x-8 + 2x-6 = -2x-14, tehát ha a függvényt az x<-2 számhalmazon akarjuk ábrázolni, akkor a -2x-14 lineáris függvényt kell ábrázolnunk.

-ha x=-2, akkor csak behelyettesítünk: |4*(-2)+8|-|2*(-2)-6|= 0-10 = -10, tehát a (-2;-10) pont a függvény része.

-ha -2<x<3, akkor ezt kapjuk: |4x+8|=4x+8, |2x-6|=-(2x-6), tehát

|4x+8|-|2x-6| = 4x+8 - (-2x-6) = 4x+8 + 2x-6 = 6x+2, tehát a -2<x<3 számhalmazon a 6x+2 lineáris függvényt kell ábrázolnunk.

-ha x=3, akkor csak behelyettesítünk: |4*3+8|-|2*3-6| = 20-0 = 20, tehát a (3;20) pont a függvény része.

-ha x>3, akkor ezt kapjuk: |4x+8|=4x+8, |2x-6|=2x-6, tehát

|4x+8|-|2x-6| = 4x+8 - (2x-6) = 4x + 8 - 2x + 6 = 2x+14, tehát az x>3 halmazon a 2x+14 lineáris függvényt kell ábrázolnunk.

A WolframAlpha segítségével megnézhetjük, hogy kb. mit is kellene kapnunk;

[link]

A képen jól látható, hogy x=-2-nél és x=3-nál van egy-egy törés a függvény képében.