7-tel való oszthatóságra szabály és bizonyítás?

Ahogyan a 3-mal és 9-cel vett oszthatóság bizonyítható, úgy a 7-tel oszthatóságra is megalkotható a szabály, csak kicsit bonyolult lesz. Azt kell megnéznünk, hogy a helyiértékek 7-tel vett maradéka mennyi;

egyes: 1:7=0, marad az 1

tizes: 10:7=1, marad a 3

A továbbiakban úgy érdemes megnézni a 7-es maradékot, hogy a maradékot szorozzuk 10-zel, és az így kapott szám 7-es maradékát nézzük;

százas: 30:7=4, marad a 2

ezres: 20:7=2, marad a 6

tízezres: 60:7=8, marad a 4

százezres: 40:7=5, marad az 5

milliós: 50:7=7, marad az 1

Innen pedig ismétlődni fog a maradékok sorozata, vagyis az 1;3;2;6;4;5 számsorozatot fogjuk kapni, a végtelenségig.

Azt oszthatósági szabály: a helyiértékeken álló számokat sorozzuk meg a fenti sorozat tagjaival, majd ezeket adjuk össze. Ha az összeg osztható 7-tel, akkor az eredeti is.

Vegyük például a 12481 számot. Érdemes a számjegyek alá leírni a fenti maradékokat:

1 2 4 8 1

4 6 2 3 1

Vagyis 1*1 + 3*8 + 2*4 + 6*2 + 4*1 = 49, a 49-ről pedig tudjuk, hogy osztható 7-tel, tehát az eredeti is.

Ha nagyobb számról van szó, akkor a sorozatot ki kell bővíteni;

3248784:

3 2 4 8 7 8 4

1 5 4 6 2 3 1

1*4 + 3*8 + 2*7 + 6*8 + 4*4 + 5*2 + 1*3 = 119, ami pedig 70+49, tehát osztható 7-tel.

Lényegesen lehet gyorsítani az eljáráson, hogy ha olyan számokat vonunk ki a számból, amikről tudjuk, hogy 7-tel oszthatóak. Jellemzően ilyenek a 7;70;700;... számok, vagyis ha a számjegyekből (amikből lehet) levonunk 7-et, akkor kisebb számmal tuduk számolni. Például a 3248784 esetén a 3241014 számot kapjuk, hogyha a 6-nál nagyobb számjegyekből levonunk 7-et. Ebben az esetben:

3 2 4 1 0 1 4

1 5 4 6 2 3 1

Vagyis 1*3 + 2*5 + 4*4 + 6*1 + 2*0 + 3*1 + 1*4 = 42, ami osztható 7-tel, így az eredeti is.

Veszed a 100-as hányados kétszeresét, hozzáadod a maradékot. Ha ez osztható héttel, akkor az eredeti is.

Vagy átírod nyolcas számrendszerbe, és a számjegyek összege osztható-e héttel, megvizsgálod.

Amúgy wiygf: [link]