Egy négyjegyű számhoz hozzáadjuk a számjegyeinek összegét. Mi a legnagyobb szám, amit így kaphatunk? Egy négyjegyű számból kivonjuk a számjegyeinek összegét. Mi a legkisebb szám, amit így kaphatunk?

> Egy négyjegyű számhoz hozzáadjuk a számjegyeinek összegét. Mi a legnagyobb szám, amit így kaphatunk?

A legnagyobb négyjegyű szám a legnagyobb számjegyekből, azaz 9-esekből áll. Tehát a legnagyobb négyjegyű szám 9999. A számjegyek összege is akkor a legnagyobb, ha mindegyik számjegy a legnagyobb. Tehát a legnagyobb számjegyösszeg 9+9+9+9=36.

Ha bármelyik számjegy kisebb lenne, akkor a négyjegyű szám is, meg a számjegyek összege is kisebb lenne, így nyilván ennek a kettőnek az összege is kisebb lenne.

Tehát a legnagyobb négyjegyű szám a 9999.

A számjegyek összege is ebben az esetben a legnagyobb: 36.

A kettő összege: 10035. Ez a legnagyobb szám, amit úgy kaphatsz, hogy egy négyjegyű számhoz hozzáadod a számjegyek összegét.

> Egy négyjegyű számból kivonjuk a számjegyeinek összegét. Mi a legkisebb szám, amit így kaphatunk?

Ez már egy kicsit trükkösebb. Egy négyjegyű szám első számjegye nem lehet nulla. Tehát a legkisebb négyjegyű szám az 1000. Mivel az első számjegy nem lehet nulla, így a számjegyek összege legalább 1. Ugye ebben az esetben a szám, amit kapsz: 1000-1=999.

De ez a legkisebb szám, amit kaphatsz? Nem lehet olyan négyjegyű szám, aminél a számjegyek összege jóval több, így kisebb számot kapsz?

Induljunk ki ebből az 1000 - 1 = 999 esetből.

Ha az első számjegyet növeled, akkor nő a kivonandó is, meg a kisebbítendő is. De amíg a kisebbítendő 1000-el nő, addig a kivonandó csak 1-el, így összességében nagyobb – méghozzá 999-el nagyobb – szám lesz a kettő különbsége. Pl.: 2000-2=1998; 3000-3=2997.

Hasonló logikával belátható, hogy a második és a harmadik számjegy növelésével is a kisebbítendő jobban fog növekedni, mint a kivondandó, így a különbség szintén nagyobb lesz. Pl.: 1100-2=1098; 1200-3=1197; …; 1010-2=1008; 1020-3=1017.

Viszont ha az utolsó számjegyet növeled – mondjuk eggyel –, akkor bár nő a kivonandó eggyel, de a kisebbítendő is nő eggyel, a kettő különbsége tehát változatlan. Ha hárommal, néggyel növeled az utolsó számjegyet, akkor a kivonandó, a kisebbítendő is hárommal, néggyel fog növekedni, tehát a különbség akkor is változatlan marad. A legkisebb szám amit így kaphatsz, az a 999. Viszont 10 olyan négyjegyű szám is van, ahol ezt kaphatod:

1000 - 1 = 999

1001 - 2 = 999

1002 - 3 = 999

…

1007 - 8 = 999

1008 - 9 = 999

1009 - 10 = 999