MATEK! Hány olyan négyjegyű poizitív egész szám van amelynek utolsó számjegye 4-gyel nagyobb a második számjegyénél és számjegyeit fordított sorrendben leírva olyan négyjegyű számot kapunk amely 28-cal nagyobb az eredetinél?

#1 > Honnan tudjam?? Érettségin is buktam matekból.

Ha nem tudsz egy kérdésre válaszolni, akkor ne válaszolj arra a kérdésre.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Egy négyjegyű szám felírható így:

1000a + 100b + 10c + d

Ahol a, b, c és d a szám számjegyeik, nyilván ezek egyjegyű egész számok, illetve extra megkötés, hogy a nem lehet nulla. Azaz:

a ∈ [1, 9]

b,c,d ∈ [0, 9]

Nézzük, mit tudunk:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> amelynek utolsó számjegye 4-gyel nagyobb a második számjegyénél

Azaz:

d = b+4

Mivel ugye d-nek egyenlőnek vagy kisebbnek kell lennie 9-nél, ezért nyilvánvalóan b-nek egyenlőnek vagy kisebbnek kell lennie 5-nél. Hiszen ha b hat, vagy nagyobb lenne, akkor d 10 vagy nagyobb lenne, ami ugye nem lehet, mert egyjegyű számnak kell lennie. Azt is tudjuk ebből, hogy d-t egyértelműen meghatározza b. Tehát a számunk felírható így:

1000a + 100b + 10c + (b+4)

Ahol:

a ∈ [1, 9]

b ∈ [0, 5]

c ∈ [0, 9]

~ ~ ~

> és számjegyeit fordított sorrendben leírva olyan négyjegyű számot kapunk amely 28-cal nagyobb az eredetinél

Az eredeti szám fordítottját megkapjuk így:

1000d + 100c + 10b + d

Ugye tudjuk hogy ez 28-cal nagyobb az eredeti számnál, ergo, ha az eredeti számhoz hozzáadunk 28-at, akkor az pont egyenlő lesz ezzel a fordított számmal:

1000a + 100b + 10c + d + 28 = 1000d + 100c + 10b + a

Jó, most helyettesítsük be ebbe a d helyére a b+4-et, hiszen d=b+4

1000a + 100b + 10c + b + 4 + 28 = 1000(b+4) + 100c + 10b + a

Bontsuk ki a zárójelet a jobb oldalon és vonjuk össze a bal oldalon a két utolsó tagot:

1000a + 100b + 10c + b + 32 = 1000b + 4000 + 100c + 10b + a

Vonjuk össze az azonos tagokat:

1000a + 101b + 10c + 32 = 1010b + 100c + a + 4000

Vigyük át az ismeretleneket egy oldalra:

999a - 909b - 90c = 3968

Oké, emeljük ki a 9-et, majd rendezgessük kicsit a jobb oldalt.

9 * (111a - 101b - 10c) = 9 * (3968 / 9)

9 * (111a - 101b - 10c) = 9 * ((3960 + 8) / 9)

9 * (111a - 101b - 10c) = 9 * (3960/9 + 8/9)

9 * (111a - 101b - 10c) = 9 * (440 + 8/9)

(Ugye 3968 nem osztható 9-el, erre ment ki a jobb oldal rendezgetése)

Most pedig osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 9-el:

111a - 101b - 10c = 400 + 8/9

Majd pedig vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából 400-at:

111a - 101b - 10c - 400 = 8/9

Ugye a, b és c egész számok. Nyilván ezeket egész számmal szorozva is egész számokat kapunk. Egész számokat összeadva és kivonva egymásból szintén egész számot kaphatunk csak. Tehát az egyenlet bal oldalán mindenképpen egész szám kell, hogy álljon. Viszont az egyenlet jobb oldalán nem egész szám áll, így az egyenlet soha nem fog teljesülni.

Tehát nincs olyan egész a, b és c, amire az egyenlet fennállna, így elmondható, hogy nulla darab olyan négyjegyű szám van, ami eleget tesz a feladatban leírt feltételeknek.

* Javítás:

„Az eredeti szám fordítottját megkapjuk így:

1000d + 100c + 10b + d”

Helyesen:

1000d + 100c + 10b + a