Deriválási kérdés : második deriváltja "ennek" (lentebb írom a kifejezést) mi?

Apró útmutató a jövőre nézve, a hatványt írásban általában a ^ jellel szoktuk jelölni:

x² → x^2

Ha a kitevőben nem csak egy szám, vagy ismeretlen áll, akkor érdemes zárójelezni.

Tehát „e a 2x -ediken szorozva 2 -vel”:

e^(2x) * 2

Vagy a szorzat tagjait felcserélve:

2 * e^(2x)

A második derivált az, amikor veszed egy kifejezés első deriváltját, nyilván a deriválás megtanult/megtanulandó szabályai szerint, majd az így kapott kifejezést még egyszer deriválod.

~ ~ ~

Milyen összefüggésekre lesz szükségünk?

Egyrészt arra a régebbi ismeretre, hogy:

a^n * a^m = a^(n+m)

Ebből nyilván következik, hogy

a^(2n) = a^n * a^n

Aztán szükség lesz a deriválás azon összefüggésére, hogy:

(a * f)' = a * (f')

Szükség lesz még a szorzatszabályra:

(f * g)' = (f') * g + f * (g')

Valamint az exponenciális függvénynek a definíciójából származó összefüggésre, mely szerint:

(e^x)' = e^x

~ ~ ~

Innen:

(2 * e^(2x))' =

= 2 * (e^(2x))' =

= 2 * (e^x * e^x)' =

= 2 * ((e^x)' * e^x + e^x * (e^x)') =

= 2 * (e^x * e^x + e^x + e^x) =

= 2 * (e^(2x) + e^(2x)) =

= 2 * ( 2 * e^(2x)) =

= 4 * e^(2x)

Ez az első derivált, a második deriváltat meg megkapod, ha ezt újra deriválod:

(4 * e^(2x))' =

= 4 * (e^(2x))' =

= 4 * (e^x * e^x)' =

= 4 * ((e^x)' * e^x + e^x * (e^x)') =

= 4 * (e^x * e^x + e^x + e^x) =

= 4 * (e^(2x) + e^(2x)) =

= 4 * ( 2 * e^(2x)) =

= 8 * e^(2x)

Ergo:

(2 * e^(2x))'' = (4 * e^(2x))' = 8 * e^(2x)

Általánosságban levezethető szabályok:

(a * e^(2x))' = 2a * e^(2x)

Sőt:

(a * e^(nx))' = a*n * e^(nx)

[link]

Ide beírod, még le is vezeti neked. Van integrálos párja, ugyanilyen jó