Hogyan kell kiszámítani S, n összegét?

Egy nagyon-alap magyarázat:

[link]

Számtani sorozatnál az általános tag felírható a_1+(n-1)d formában. Ha ezeket 1-től k-ig adod össze, akkor lesz k darab a_1, valamint a 0+d+2d+...+kd összeg. Innen kiemelsz d-t, és csak a 0+1+2+...+k összeget kell kiszámolni. Itt a trükk annyi, hogy a két végéről véve párokat, az összegük mindig ugyanannyi lesz: k. Összesen k/2 párt tudsz csinálni, így az össegük k*k/2. Ezt kell megszorozni d-vel: d*k*k/2. Ehhez hozzáadjuk a k*a_1 tagot, és már csak rendezni kell.

Mértani sorozatnál kiemelünk a_1-et, és kapjuk a 1+q+q^2+q^3+...+q^k összeget. Észrevesszük, hogy ha ezt megszorozzuk q-1-gyel, akkor pont q^(k+1)-1-et kapunk, tehát az összeg röviden: (Ezt inkább TeX szerint írom, szebb) \frac{q^{k+1}-1}{q-1}. Ezt kell megszorozni a_1-gyel, és voilá.