Matematika segítség!?

Hány olyan egész számokból alkotott számpár van, melyekben a két szám összege nagyobb, mint a szorzata?

Végtelen. Az egyik a nulla, a másik bármilyen pozitív egész szám lehet.

1. Jancsi pogácsái: 1;3;5;7;... Juliska pogácsái: 2;4;6;8;...

Mindkettő felírható számtani sorozatként, ekkor a sorozat összegképlete megmutatja, hogy hanyadik húzásnál hány pogácsája volt valamelyiknek.

Jancsinál: a1=1 d=2, ebből S_n=n(2+2(n-1))/2=n(n)=n^2

Juliskánál: a1=2 d=2, ebből S_n=n(4+2(n-1))/2=n(1+n)=n^2+n

Mindketten ugyanannyiszor vettek a szabály szerint, végül Jancsinak 4 jutott és akkor ugyanannyi pogácsájuk lett, tehát:

n^2+4=n^2+n, ebből n=4

Tehát négyszer vettek mindketten "szabályszerűen".

Jancsi pogácsáinak száma: 4+S_4=4+4(2+3*2)/2=20

Juliska pogácsáinak száma: S_4=4(4+6)/2=20

Tehát összesen 40 pogácsát osztottak szét.

2. Attól függ, hogy a feladat hogy értelmezi a számpár fogalmát. Úgy is lehet, ahogy az előttem szóló értette, vagy úgy, hogy hány olyan két EGYJEGYŰ szám van, ami eleget tesz a fenti feltételnek. Az sem egyértelmű, hogy negatív számok is játszanak-e, de vegyük úgy, hogy játszhatnak. Az egyenlőtlenség, aminek igaznak kell lennie:

x+y>x*y

x vagy y helyére mindig eggyel nagyobb számot írsz. Kezdjük -9-től: x=-9

-9+y>-9y

-9>-10y

9/10<y

Mivel y egyjegyű, ezért az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha y={2;3;4;5;6;7;8;9}, ez összesen 8 lehetősség (ha az egyik szám a -9).

Most legyen -8: x=-8

-8+y>-8y

-8>-9y

8/9<y

Ugyanúgy járunk el, mint az előbb: y={1;2;3;4;5;6;7;8;9} ez 9 lehetőség.

Ezt addig csinálod, amíg 9-hez nem jutsz el.

Az sem egyértelmű, hogy a két szám sorrendje számít-e, például a (-9;9) és a (9;-9) számpárok ugyanannak tekinthetők, vagy különböznek. Ha különböznek, akkor összeadod a lehetőségeket és annyi számpár van. Ha azonosak, akkor összeadod a lehetőségeket és osztasz 2-vel.

A telefonszám: aaabbb

A számjegyek összege: 3a+3b, amiről tudjuk hogy egy kétjegyű szám, amiben a tízes helyiértéken a áll, az egyesen b áll, vagyis 10a+b alakú:

3a+3b=10a+b, ebből 2a=7b. Ez az egyenlet csak akkor teljesül, ha a=7 és b=2 (mivel a és b pozitív, egyjegyű számok). Tehát a telefonszám: 222777.

4. Minden adott, hogy a személyvonat sebességét kiszámoljuk: 5 óra alatt 240 km-t tesz meg, vagyis a személyvonat sebessége: 240/5=48km/h

Tudjuk, hogy a két vonat sebességének aránya 3:5, és a személyvonat sebessége lassabb, így már felírható az arány: 48/x=3/5, ebből x=80km/h, ekkora a gyorsvonat átlagsebessége.

Mivel a gyorsvonat a 240km-es utat 3 óra alatt teszi meg, ezért 10 órakor kell indulnia, hogy 13-ra beérjen.

5. Az ilyenfajta feladatoknál első körben érdemes olyan esetet keresni, ami alátámasztja az állítást. Ha nem sikerül, akkor bizonyítani kell, hogy minden esetben hamis az állítása.

Sanyi: "Nincs olyan kockám, amelynek 4 lapja piros". Ez már akkor teljesül, ha 1 kockája van, ekkor minden oldalát befesti és a kockának 6 oldala piros, ami ugye nem 4, de ha mondjuk 2-t illeszt össze, akkor is igaz, mivel akkor minden kockán 5 lap van befestve, ami ugyancsak nem 4. De ha Sanyi arra gondolt, hogy minden kockájának legfeljebb 3 lapja piros, akkor az akkor teljesül, ha 8 kockát ragaszt össze nagy kockává, ekkor minden kockának 3 lapja van befestve.

Pista: "A nálam lévő kockák mindegyikének legalább 4 lapja piros". Amiket Sanyinál felsoroltam, erre az esetre is igazak.

Erzsi: "Minden kockámnak pontosan 5 lapja piros". Ez akkor igaz, ha két kockát illeszt össze (amit már Sanyi eseténél is írtam).

Tehát mindegyik állítás lehet igaz. Lehet hamis is, de erre a feladat nem tér ki.

7. 4 eset lehetséges:

1. eset: mindketten tévesztők. Ekkor vagy ugyanazt kellene mondaniuk, vagy a két mondott értékek között 4 különbségnek kellene lennie. Mivel egyik sem áll fent, azért ez egy lehetetlen eset.

2. eset: mindketten pontosak: Ekkor ugyanazt kellene mondaniuk, de nem mondják, szóval ez nem lehet.

3. eset: az első pontos, a második tévesztő. Ekkor pontosan 1003 pontos és 1001 tévesztő él. Ha ez igaz, akkor a tévesztőnek 1001-et vagy 1005-öt kellene mondania arra, hogy hány pontos él, amit nem mond, így ez az eset nem igaz.

4. eset: Az első a tévesztő, a második a pontos. Ekkor pontosan 1000 pontos és 1000 tévesztő él, ez azt jelenti, hogy a pontosok számára 998-at vagy 1002-t kellene mondania, amit mond is. Az, hogy 1001-et mond a pontatlanok számára, az is igaz, mivel a kérdés az volt, hogy rajta kívül mennyi él, ez a szám 999-ehhez mérten 2-t tévedett. Ezek alapján 1000 pontos és 1000 tévesztő él.

9. Nem ártott volna, ha a válaszlehetőségeket is leírod.

Mivel nincs meghatározva, hogy melyik számból mennyi lehet, ezért érdemes a legtöbb oldalt 1-esnek tekinteni. Az biztos, hogy a számok között nincs 5-ös, mert akkor a szorzat 0-ra vagy 5-ra végződik.

Meg kell néznünk, hogy a 3-hatványok milyen számra végződhetnek (^:hatvány):

3^0=1

3^1=3

3^2=9

3^3=27

3^4=81

.

.

.

Látható, hogy a 3-hatvány utolsó számjegye periodikus. Nézzük meg, hogy ezeket mivel és mennyivel kell szoroznunk, hogy a szorzat 2-re végződjön:

Ha 1-re: 1 db 2-es

Ha 3-ra: 1 db 4-es

Ha 9-re: 1 db 4-es és 1 db 2-es

Ha 7-re: 2 db 4-es.

Ezek az esetek a "leghelytakarékosabb" megoldások, ezektől eltérő megoldás is lehet. Ezen megállapítás alapján meg kell keresnünk azt a legnagyobb számot, amire a szorzat még végződhet 2-re. Érdemes 24-től visszafelé keresni.

24 db 3-as szorzata 1-re végződik, ehhez a fenti táblázat alapján kell 1 db 2-es, ez azonban nem megvalósítható (0 hely van)

23 db 3-as szorzata 7-re végződik, ehhez a fenti táblázat alapján kell 2 db 4-es, ez azonban nem megvalósítható (1 hely van)

22 db 3-as szorzata 9-re végződik, ehhez a fenti táblázat alapján kell 1 db 4-es és 1 db 2-es, ez megoldható (2 hely van).

Tehát ebben a kockában legfeljebb 22 db 3-as lehet, vagyis 0 db 3-astól 22 db 3-asig minden esetben megoldható, hogy a szorzat 2-re végződjön.