Hogyan kell megoldani? (Matek/Oszthatóság)

1:

10^0 == 1, aminek 1 db osztója van.

10^1 == 10, aminek 4 db osztója van.

10^2 == 100, aminek 9 db osztója van.

10^3 == 1000, aminek 16 db osztója van.

10^4 == 10000, aminek 25 db osztója van.

Ha jól megnézed, a számok osztóinak száma négyzetszám, mégpedig mindig a kitevőnél eggyel nagyobb szám négyzetéé.

Azaz:

10^n == 1 és n db 0, vagyis az osztói száma: (n+1)^2

Szerintem innen már ki tudod számolni. :)

A másikon még megpróbálok töprengeni.

Szóval: 7^1+7^2+7^3+7^4 == 2800

7^1==7 ha itt a kitevőhöz hozzáadunk 4-et, akkor 7^5-t kapunk, ami 16807

7^2==49 ha itt a kitevőhöz hozzáadunk 4-et, akkor 7^6-t kapunk, ami 117649

7^3==243 ha itt a kitevőt hozzáadunk 4-et, akkor 7^7-t kapunk, ami 823543

7^4==2401 ha itt a kitevőt hozzáadunk 4-et, akkor 7^8-t kapunk, ami 5764801

Így, a 7^1+7^2+7^3+7^4+7^5+7^6+7^7+7^8 == 6725600

Ha megnézed a felsorolásomat, a hetes szám különlegessége, hogyha a kitevőjéhez hozzáadunk 4-et, akkor az utolsó két számjegy megmarad. Mivel csak 4*n-ig kell megadni az összeget, ezért kell mindig négyet hozzáadni.

Szóval az n==0 esetet leszámítva, a 7+7^2+7^3+7^4 ... 7^ 4n összeg két utolsó számjegye kettő darab nulla.

Jaj, a 20^30-t nem vizsgáltam meg. Bocsánat.

Na akkor:

20^0 == 1, aminek 1 db osztója van.

20^1 == 20, aminek 6 db osztója van. Az előző kettő különbsége 6-1 == 5 ==(kitevő*4)+1

20^2 == 400, aminek 15 db osztója van. Az előző kettő különbsége 15-6 == 9 ==(kitevő*4)+1

20^3 == 8000, aminek 28 db osztója van. Az előző kettő különbsége 28-15 == 13 ==(kitevő*4)+1

20^4 == 160000, aminek 45 db osztója van. Az előző kettő különbsége 45-28 == 17 ==(kitevő*4)+1

20^5 == 3200000, aminek 66 db osztója van. Az előző kettő különbsége 66-45 == 21 ==(kitevő*4)+1

20^6 == 64000000, aminek 91 db osztója van. Az előző kettő különbsége 91-66 == 25 ==(kitevő*4)+1

20^7 == 1280000000, aminek 120 db osztója van.

Könnyű belátni, hogy a többinél is így van. (Teljes indukcióval..)

Rég volt már, amikor rekurzív függvényekkel számoltam.

Sajnos kész képletem nincs hozzá. De valahogy ki lehet számolni. Még gondolkodom :D

Leegyszerűsítve:

20^0 == 1, aminek 1 db osztója van.

20^1 == 20, aminek 6 db osztója van. 6 = (előző osztószám+ adott kitevő*4)+1

20^2 == 400, aminek 15 db osztója van. 15 = (6+2*4)+1

Kis programozási tudás után, a 20^30 osztóinak száma: 1891

Jobban kifejteni sajnos nem tudom. :)