Igaz a következő egyenlőség?

Az első baromságot írt...

A jobb áttekinthetőség kedvéért a k-t tatalmazó szummát nevezzük el egy másik ismeretlennel, mondjuk x-szel, ekkor:

sum(x/n^5) = x * sum(1/n^5)

Így már gyakorlatilag az a kérdés, hogy a szummából ki lehet-e pakolni szorzótényezőket, mintha csak egy szimpla kiemelés lenne. Nem tudom az idevágó tételt (majd nézz utána, ha kedved tartja), inkább bizonyítsuk be; bontsuk ki mindkét oldalon a szummát:

x/1 + x/32 + x/323 + ... = x * (1/1 + 1/32 + 1/323 + ...)

Ha véletlenül x=0 lenne, akkor triviálisan 0=0 lenne. Ha viszont x nem 0, akkor

x * (1/1 + 1/32 + 1/323 + ...) = x * (1/1 + 1/32 + 1/323 + ...)

Érthető okokból ezek egyenlőek.

Nem zavar, hogy az x-ed elég erősen függ n-től? Tehát amikor a bal oldalon írogatod, hogy x/1 + x/32 + x/323, akkor abban minden x más és más?

Először x = 1, aztán x = 1 + 1/3, aztán x = 1 + 1/3 + 1/5, stb.

A jobb oldalon meg nem is lehet tudni, mennyi az x, hiszen az n-től függ. Ez se zavarjon.

De biztos én írok baromságot, nem te :)

Valóban túlságosan leegyszerűsítettem a problémát, de egy kis módosítással már jó lesz; a szummát ne x-szel jelöljük, hanem x1; x2; ... xt-vel, természetesen n-től függően tehát sum(1/(2k-1))k=1-től 1-ig=x1, sum(1/(2k-1))k=1-től 2-ig=x2, stb., ekkor az összeg

a bal oldalon: x1/1 + x2/1 + x2/32 + x3/1 + x3/32 + x3/243 + ... + xt/1 + xt/32 + xt/243 + ... + xt/t^5 + ...

a jobb oldalon: x1*1 + x2*(1+1/32) + x3*(1+1/32+1/243) + ... + xt*(1+1/32+1/243+...+1/t^5) + ...

Erről már tényleg nem nehéz belátni, hogy igaz.

"De biztos én írok baromságot, nem te :)"

Attól, hogy én adott esetben baromságot írtam, abból nem következik, hogy te nem írtál. Más kérdés, hogy én be tudom látni, ha valamit benéztem.

Neked sikerül?

Nézd már meg az összegző indexet a jobb oldalon az első szummában! Az nem n, és nem végtelenig megy, hanem k, és n-ig megy. n viszont a jobb oldalon NINCS definiálva, akármennyi lehet. A jobb oldal tehát n-nek a függvénye: f(n).

Ha ennyire nem értesz a szummákhoz, indexekhez, akkor minek írsz itt válaszokat, ráadásul ekkora mellénnyel?

"Más kérdés, hogy én be tudom látni, ha valamit benéztem."

Azóta is várjuk

Empirikusan elég könnyű eldönteni, hogy igaz-e.

Fel kell írni mindkét oldalt n=2 vagy n=3-ra és kiszámolni.

n=2-re:

(1/1)/1^5 + (1/1+1/3)/2^5 = 1,04167

Másik oldal:

(1/1+1/3)*(1/1^5+1/2^5) = 1,375

hát ezek nagyon nem egyenlőek.

Általánosan, a konstansokat ki lehet emelni a szummából, itt

szumma x(n)/n^5 -t kell kiszámolni. x(n) nem vihető ki az n elé, mert függ az n-től, ezért nem konstans.