Hàny harmadrendű elem van A6*D7-ben?

Itt a * a csoportok direkt szorzatára utal? Én azt ×-tel fogom jelölni, és a *-ot fenntartom a csoportelemek/valós számok szorzatára. Ilyenkor a megoldás:

Ha az a az A6 csoport eleme, d pedig a D7-é, a rendjük pedig o(a) és o(d), akkor az A6×D7-beli (a, d) rendje lkkt[o(a), o(d)]. Mivel a D7-ben csak első, másod és 7-ed rendű elemek vannak, ezért ha (a, d) harmadrendű, akkor d-nek elsőrendű elemnek kell lennie, azaz csak és kizárólag az egységelem lehet, ami D7-ben egyféle (ugye ha másodrendű lenne, akkor o(a, d) páros lenne, ha meg 7-ed rendű, akkor az lkkt nagyobb lenne 3-nál).

Így lényegében a harmadrendű elemeket kell összeszámolni A6-ban. Ez a páros permutációkat tartalmazza, és ciklikus jelölésben egy permutáció akkor és csak akkor páros, ha páros sok páros hosszú ciklust tartalmaz. Ezenkívül, hogy harmadrendű legyen, a ciklusai hosszának legkisebb közös többszöröse 3 kell legyen. Ez pedig csak úgy lehet, hogy két 3 hosszú ciklust, vagy pedig egy 3 hosszú és 3 egy hosszú ciklust tartalmaz, azaz az a elem vagy

(uvw)(xyz)

vagy

(uvw)(x)(y)(z)

alakú. Hogy mely elemek kerülnek az (uvw) ciklusba az egyértelműen meghatározza, hogy mely elemek maradnak ki a többi ciklusba; és u, v, w-t 6C3-féleképpen választhatjuk ki a 6 elem közül. Ezenkívül a háromhosszú ciklusokban az utolsó két elem sorrendjét szabadon választhatjuk egymástól függetlenül, ez az első esetben minden u, v, w választáshoz 2*2 különböző A6-beli elemet jelent, a másodikban pedig 2-t. Ez összesen

6C3*(2 + 2*2) = 6*5*4/(3*2*1)*6 = 6*5*4 = 120

A6-beli elemet jelent, ami harmadrendű.

Mivel mind a 120-féle A6-beli elemhez egyértelműen D7 egységelemét kell választanunk, hogy A6×D7-ben harmadrendű elemet kapjunk, és máshogy nem kapunk harmadrendű elemet, ezért pontosan 120 darab harmadrendű elem van A6×D7-ben.