Kreációs operátor és annihilációs operátor k-adik hatványának kommutátora?

Jelöljük a†-t c-vel, hogy megszabaduljunk a speciális karakterektől, meg kicsit átláthatóbb legyen (és nem is tervezem használni a konjugált transzponálást).

Az fog kelleni, hogy a és c kommutátora az egységoperátor, amit 1-gyel jelölök majd. Ezt rendezgessük ahogy tudjuk:

(d) [a, c] = a*c – c*a, //mint definíció

(k) a*c – c*a = 1, illetve

(dk) [a, c] = 1, //mint kommutátor

(p) a*c = 1 + c*a, //mint plusz

(m) c*a = a*c – 1. //mint mínusz

'Aposztrófok' közé teszem azt a részét az egyenletnek, amit ki akarok emelni/amivel csinálni akarok valamit. Ezeket azért emeltem ki, hogy ha magadnak akarsz számolni, akkor mind tudod majd használni, most nem feltétlenül kell majd mind.

Szorozzuk (k)-t jobbról c-vel:

a*c^2 – c*'a*c' = c.

Itt a jelölt a*c helyére beírhatjuk c*a-t (p) alapján:

a*c^2 – c – c^2*a = c,

végül c-t hozzáadva:

(n,2) a*c^2 – c^2*a = 2*c, //mint [a, c^n], ahol n = 2.

[a, c^2] = 2*c.

Szorozzuk (n,2)-t jobbról c-vel:

a*c^3 – c^2*'a*c' = 2*c^2,

(p)-t használva ''-re:

a*c^3 – c^2 – c^3*a = 2*c^2,

c^2-et hozzáadva:

(n,3) a*c^3 – c^3*a = 3*c^2,

[a, c^3] = 3*c^2.

Ha elhisszük, hogy

(n,k-1) a*c^(k – 1) - c^(k – 1)*a = (k – 1)*c^(k – 2)

(például k = 2-re és k = 3-ra így van), akkor

(n,k-1)-et jobbról szorozva c-vel:

a*c^k – c^(k – 1)*'a*c' = (k – 1)*c^(k – 1),

''-re alkalmazva (p)-t:

a*c^k – c^(k – 1) – c^k*a = (k – 1)*c^(k – 1),

c^(k – 1)-et hozzáadva:

(n,k) a*c^k – c^k*a = k*c^(k – 1),

[a, c^k] = k*c^(k – 1).

(((Szerintem sokáig azért nem kaptál választ, mert nem sikerült egyértelműen leírni, mire vagy kíváncsi. A nyelv nem asszociatív:

'Kreációs operátor és (annihilációs operátor k-adik hatványának) kommutátora'

nem ugyanaz, mint

'(Kreációs operátor és annihilációs operátor) k-adik hatványának kommutátora',

ahol megint kérdés, hogy az ÉS az milyen művelet; vagy most valamelyik wikipédiás képletet nem érted… Erre találták ki a matematikai képleteket, azok sokat segítenek a dolgon (mondjuk azokkal is előfordul, hogy nem mindig egyértelműek, mert valamelyest ők is egy természetes nyelv alapján lettek felépítve). Szóval tessék írni képletet, ha matekot akarsz kérdezne.)))

Meg ahogy elnézem, én valami negyedik dolgot számoltam ki, ezért bocsánat, de remélem, ez alapján megy…

Szóval te vezesd le gyakorlásképpen előbb [c, a^k]-t, majd a [a^k, c^k]-t.