Adott az S=1/1^2+1/2^2+1/3^2+. +1/100^2 szám. Igaz-e, hogy 1,4<S<2? Miért?

Ez egy nevezetes probléma:

[link]

(nem mellesleg: kereső első találata: [link] )

"Igaz-e, hogy 1,4<S"

Ez a része elég triviális.

Az első 4 tag összeg 1,42. És utána 1/x>0 tagokat ads hozzá.

Az S<2 belátása a nehezebb.

1/n^2<1/(n^2-n) triviálisan igaz, ha n>=2

1/(n^2-n) pedig átírható = 1/(n-1)-1/n alakba.

Így a szum (1/n^2) <= 1+ szum(1/(n^2-n) alakba, a szum kiszámolható és kijön szépen, hogy S<2.

Az első 4 tag összeg 1.42

A köv. 5 tag összege kisebb mint 5 * 1/5^2 = 0.2

A köv. 10 tag összege kisebb mint 10 * 1/10^2 = 0.1

A köv. 80 tag összege kisebb mint 80 * 1/20^2 = 0.2

Szóval, kisebb mint 1.42+0.2+0.1+0.2 = 1.92

(+0.0001, ha figyeltél :D)