Igaz vagy hamis? Jövőhéten vizsgázok lineáris algebrából és ezeket nem igazán sikerült megoldanom. Ha valaki legalább egy részére tudná a biztos választ az is nagyon segítene!

2)

Az összeadásra zártság szerintem nem elég ahhoz, hogy feltétlenül altér is legyen.

Pl. Legyen az

ℝ³ = { 〈x; y; z〉 | x, y, z ∈ ℝ }

a vektortér.

Ennek vegyük az alábbi részhalmazát (ellenpélda gyanánt):

{ 〈1; 0; 0〉; 〈2; 0; 0〉; 〈3; 0; 0〉; 〈4; 0; 0〉; ...}

vagyis a

ℕ₊ × ℝ × ℝ = { 〈n; 0; 0〉 | n ∈ ℕ₊ }

halmazt. Ez valóban zárt összeadásra, de mégsem altér. Szóval számonra úgy tűnik, hogy ahhoz, hogy altér legyen, ahhoz több is kellene:

Zártnak kéne lennie salárral való szorzásra is, és ennek folyományaképpen, a nullvektort és az ellentet vektorokat is tartalmaznia kéne.

4)

Szerintem nem igaz, pontosabban szólva szerintem lehet mesterkélt ellenpéldát kreálni: véges test feletti véges vektorteret, szóval amiben csak véges számű vektor lehetséges. Pl. legyen a test a

ℤ₂ = {0; 1}

mint véges test (mod 2 szorzó- és összeadótáblával), és efölött a test fölött vennék egy elfajult vektorteret, ami szintén véges lenne, pl. csak a nullvektorból meg még egy vektorból állna. Még ellenőrizni kéne, hogy a vektorösszeadás és skalárral való szorzás megalkotható-e úgy, hogy a vektortéraxiómák mind teljesüljenek.

Szóval talán az lehetne a legegyszerűbb ellenpélda, ha a ℤ₂ test felett venném magát a ℤ₂-t mint vektorteret, és a skalárral való szorzásnak a szokásos ℤ₂-n beli szorzást feleltetem meg, akkor az szertintem jó ellenpéldát ad.

Ha zavaró itt az, hogy a vektrtér és a skalárok teste egybeesik, akkor vehetjük a

ℤ₂ × ℤ₂ Descartes-szorzatnak a ℤ₂ test feletti vektorterét is.

meg itt találtam is egy weblapot, nem értem pontosan, de mintha ez is épp véges vektorterekkel foglakoznék:

[link]

A

ℤ₂

jelölés helyett talán szerencsésebb lett volna a

ℱ₂

jelölés, a lényeg az, hogy véges testről van szó, legegyszerűbb példaként a kételemű testről, a ,,szokásos'' összeadó- és szorzótáblával (modulo 2)

Jajj de régen volt, élvezet lesz gondolkodni :)

1. Nullvektor vagy egy van, írj fel kettőt, és kijön az, hogy egyenlőek.

4. Nyílván igaz, hiszen lineáris kombinációval végtelen sok elem előáll.

6. Szerintem ez a definíciója az altérnek, tehát igen.

9. Igen, mivel a determinánsnak feltétele a rang n-sége, a sorok/oszlopok lineáris függetlensége.

10. Nem feltétlenül, n-1-től 0-ig akármennyi lehet.

14. Ez így van, az a két sor közül az egyik kinullázható tehát a rangja kisebb, mint k.

20. Nem igaz, ellenpélda (könnyű konstruálni, például az 1x1-es [2] mátrix inverze az 1x1-es [1/2] mátrix.

23. Ez így van, szorozz be A-1-el balról.

Biztos hogy a 4)-esnél nem támaszodunk észrevétlenül arra a kimondatlan előfeltevésre, hogy a hétköznapi alkalmazások során többnyire VÉGTELEN test feletti vektorterekkel találkozunk? (ℝ, ℂ, ℚ fölötti vektorterek)

Nekem is régen volt a téma, ezért is nem merek biztos válaszokat adni, de az a sejtésem, hogy ha a kérdés ÁLTALÁNOSSÁGBAN vektorterekről szól, akkor nem tételezhetjük fel automatikusan azt, hogy ℝ, ℂ, vagy akár ℚ feletti vektortérről van szó. Egyszóval: tetszőleges testre fel kell készülnünk. Konrétan: akár ,,darabosak'', ,,diszkrétek'' is lehetnek azok a skalárok, amiket majd a skalárszorzásnál használunk.

És ha meg már maga a vektortér is véges, és még RÁADÁSUL az a test is véges, ami felett a vektorteret vesszük, akkor nagyon is elképzelhetőnek tartom, hogy nem áll elő végtelen féle vektor. Bizonyítani nem tudom, nekem is rég volt a téma.

Én a ℱ₂ test feletti ℱ₂ × ℱ₂ vektorteret javalom vizsgálódás céljára. Ha esetleg nem jönne be a dolog (nem elégítené ki a vektortéraxiómákat), akkor meg az ℱ₂ test feletti ℱ₂ vektorteret (itt persze kissé idegesítő lehet a test és a vektortér egybeesése).

ℱ₂ alatt a ℤ₂ gyűrűt értem, ami ,,véletlenül'' épp test is. Köznapi nyelven fogalmazva, itt a műveleteket az ,,óraszámlap''-aritmentika szerint értelmezzük.

[link]

Ez talán a legegyszerűbb mód véges test nyerésére. Persze emelett más, bonyolultabb véges testek is szerkeszthetőek:

[link]

ℱ₂ = {0; 1}

az alábbi összeadó- és szorzótáblával:

Összeadótábla

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

Szorzótábla

0 · 0 = 0

0 · 1 = 0

1 · 0 = 0

1 · 1 = 0

Mivel (szerintem, de ellenőrizendő) kielégíti a testaxiómákat, ezért ez egy véges test.

Szorzótáblánál utolsó sor javítása:

1 · 1 = 1

Akkor már megpróbálom felírni magát az ellenpéldaként javasolt véges ℱ₂ × ℱ₂ vektorteret is (az elébbi ℱ₂ véges test fölött):

ℱ₂ × ℱ₂ = { 〈0; 0〉; 〈0; 1〉; 〈1; 0〉; 〈1; 1〉 }

Vektor-összeadótábla:

〈0; 0〉 + 〈0; 0〉 = 〈0; 0〉

〈0; 0〉 + 〈0; 1〉 = 〈0; 1〉

〈0; 0〉 + 〈1; 0〉 = 〈1; 0〉

〈0; 0〉 + 〈1; 1〉 = 〈1; 1〉

〈0; 1〉 + 〈0; 0〉 = 〈0; 1〉

〈0; 1〉 + 〈0; 1〉 = 〈0; 0〉

〈0; 1〉 + 〈1; 0〉 = 〈1; 1〉

〈0; 1〉 + 〈1; 1〉 = 〈1; 0〉

〈1; 0〉 + 〈0; 0〉 = 〈1; 0〉

〈1; 0〉 + 〈0; 1〉 = 〈1; 1〉

〈1; 0〉 + 〈1; 0〉 = 〈0; 0〉

〈1; 0〉 + 〈1; 1〉 = 〈0; 1〉

〈1; 1〉 + 〈0; 0〉 = 〈1; 1〉

〈1; 1〉 + 〈0; 1〉 = 〈1; 0〉

〈1; 1〉 + 〈1; 0〉 = 〈0; 1〉

〈1; 1〉 + 〈1; 1〉 = 〈0; 0〉

Skalárral való szorzótábla:

0 · 〈0; 0〉 = 〈0; 0〉

0 · 〈0; 1〉 = 〈0; 0〉

0 · 〈1; 0〉 = 〈0; 0〉

0 · 〈1; 1〉 = 〈0; 0〉

1 · 〈0; 0〉 = 〈0; 0〉

1 · 〈0; 1〉 = 〈0; 1〉

1 · 〈1; 0〉 = 〈1; 0〉

1 · 〈1; 1〉 = 〈1; 1〉

Az a sejtésem, hogy az elébb felírt véges ℱ₂ test feletti véges ℱ₂ × ℱ₂ vektortér valóban vektortér (vagyis kielégíti az összes vektortéraxiómát, bár nem ellenőriztem). Ha ez rendben, akkor ez ellenpéldát ad 4)-esre, tehát 4)-esre a válasz az lesz, hogy nem igaz.

Vektortéraxiómák:

[link]

A bizonyítás során érdemes hivatkozni arra, hogy a fenti

ℱ₂ × ℱ₂

vektorösszeadótábláját és skalárralszorzótábláját úgy állítottuk össze, hogy KOMPONENSENKÉNT végezzük el az egyébként ℱ₂-re vonatkozó műveleteket.

Így már a vektortér-axiómák teljesülése igazolható, persze ennek során építünk arra is, hogy maga ℱ₂ pedig test.