Mi a megoldása az alábbi feladatnak?

Nem kell térbeli ellipszissel számolni, csak valamelyik laikus válaszoló keverte be a z koordinátát. A mozgás síkmozgás, így elég azt az xy síkban vizsgálni és az egyenletet abban felírni.

És nem az ellipszis egyenletrendszerét kell felírni, ahogy a 18.25-ös válaszoló tette, hanem egy db. ellipszis egyenletet kell felírni az xy síkban.

Mellesleg a 18.25-ös válaszoló nem is tudja hogy mit írkál, mert ha a térbeli ellipszis egyenletrendszerét írta volna fel, akkor három egyenletet írt volna föl. De őneki a tudásán kívül hiányzik a harmadik egyenlete is, látszik, hogy matekból csak épp átbukdácsolt.

Mellesleg a mértékegységekkel sincs tisztában, mert keveri a métert a kilóméterrel, pedig ezt már általános iskola 5.osztályában is tanítják.

Kérdező, az általad felírt x*x/a*a + y*y/b*b + z*z/c*c = 1 alakú egyenlet pedig az ellipszidnak a főtengelyrendszerbeli paraméternélküli kanonikus egyenlete.

Azaz nincs eltolási transzformáció és forgatási transzformáció sem, mert az ellipszoid főtengelyei egybeesnek az x,y,z tengelyekkel.

Márpedig a pálya egy ellipszis, a te egyenleted pedig egy ellipszoidfelületet definiál. Azon pedig elég sokféle mozgást végezhet egy test (Euler-szögek bevezetése) de a Hold nem úgy mozog a Föld körül.

> „de akkor a z koordináta, hogy jön be?”

Ahogy azt a 18:25-ös válaszban felírtam (mellesleg már ott is bejött a z koordináta, hogy az 0), át kell transzformálni az egyenletrendszert egy másik koordinátarendszerbe. Például, ha az általam kijelölt koordinátarendszert 5°-kal elforgatjuk az x-tengelye körül, akkor az így kapott koordinátarendszerben az egyenletrendszer az lesz, hogy

(1) x^2/a^2 + y^2/(0,9924*b^2) = 1,

(2) x^2/a^2 + z^2/(0,0076*b^2) = 1,

ahol a és b helyes értékeiben az exponenst elnéztem, bocsánatot kérek, helyesen:

a ≈ 3,8475e8 m és b ≈ 3,8417e8 m.

> „Ráhúzom a világegyetemre a térbeli koordinátarendszert, csak azt nem tudom még, hogy mi legyen az origó?”

Ha azt akarod, hogy a Hold pályája az ellipszisére hasonlítson, akkor olyan koordinátarendszert kell felvenned, ami a Föld–Hold-rendszerrel együtt mozog. Ha ebben a Hold pályájának középpontja az (x0, y0, z0) helyen van, akkor az egyenletrendszer úgy módosul, hogy

(1) (x – x0)^2/a^2 + (y – y0)^2/(0,9924*b^2) = 1,

(2) (x – x0)^2/a^2 + (z – z0)^2/(0,0076*b^2) = 1.

Még egy tárgyi tévedés a hozzászólásomban, szerencsére jelen esetben nem túl lényeges, de (mivel a Hold és a Föld tömege összemérhető), a Föld nem egészen a fókuszpontban lesz, hanem kicsit odébb lesz. A fókuszpont a Föld–Hold-rendszer tömegközéppontjában van.

> „A mozgás síkmozgás, így elég azt az xy síkban vizsgálni és az egyenletet abban felírni.”

Ezt nem szoktuk feltenni a Kepler-törvények levezetésénél, hanem a levezetés elején egyszerű megfontolásokból kijön.

> „ill. azt hogy térj át elliptikus koordinátarendszerre”

Ez a hengerkoordináták egy másik neve? Ha nem, akkor ez nekem egy új levezetés lesz.

> „Mellesleg a 18.25-ös válaszoló nem is tudja hogy mit írkál, mert ha a térbeli ellipszis egyenletrendszerét írta volna fel, akkor három egyenletet írt volna föl.”

Ugye van 3 koordinátánk, az x, y, z. Ha ezekre én felírok 3 egyenletet, akkor (ha nem is mindig, de azért nem túl speciális esetekben) mindegyiket ki tudjuk fejezni belőlük. Szóval térben a 3 egyenletből álló egyenletrendszer egy véges sok pontból álló halmazt határoz meg. Például ha most ehhez az egyenletrendszeremhez hozzávesszük egy sík egyenletét, mondjuk hogy

(3) x = 0,

akkor az egyenletrendszer megoldása az x = 0 sík és az ellipszis metszéspontjait fogja adni, nem pedig egy térbeli görbét.

> „Ellipszis pálya a térben. (Térbeli ellipszis) Az ellipszoid valamely felületén halad végig a Hold.”

Illetve síkmetszetén. Szóval az ellipszoid egyenletéhez egy sík egyenletét hozzávéve egy ellipszis egyenletrendszerét kapjuk (vagy 1 pontét, ha a sík érintő, vagy az üreshalmazét, legalábbis valós térben).

(((> „De őneki a tudásán kívül hiányzik a harmadik egyenlete is, látszik, hogy matekból csak épp átbukdácsolt. Mellesleg a mértékegységekkel sincs tisztában, mert keveri a métert a kilóméterrel, pedig ezt már általános iskola 5.osztályában is tanítják.”

Sajnos tényleg csak átbukdácsoltam matekból, így nem értem, hogy ez mit számít abból a szempontból, hogy egy térbeli görbe egyenletrendszere 2 egyenletet, egy felületé pedig 1-et tartalmaz.

Ezt volna szíves elmagyarázni a kolléga, aki még nem tévedett?)))

"Például, ha az általam kijelölt koordinátarendszert 5°-kal elforgatjuk az x-tengelye körül, akkor az így kapott koordinátarendszerben az egyenletrendszer az lesz, hogy

(1) x^2/a^2 + y^2/(0,9924*b^2) = 1,

(2) x^2/a^2 + z^2/(0,0076*b^2) = 1,"

Ez nettó hülyeség! Ha elforgatod a koordinátarendszert, akkor olyan egyenletet kell kapnod, amely egy elforgatott ellipszist definiál. A te egyenleted nem elforgatott ellipszist ír le, hanem egy olyant, amelyiknek az egyik féltengelye egy picit kisebb.

Ebből látszik hogy fogalmad nincs a főtengelytranszformációról és a kanonikus alakokról...

"Ez a hengerkoordináták egy másik neve? Ha nem, akkor ez nekem egy új levezetés lesz."

Nem, nem hengerkoordináta... A polárkoordináta-rendszernek egy kiterjesztése. De hát erről nem hallottál persze.

"Szóval térben a 3 egyenletből álló egyenletrendszer egy véges sok pontból álló halmazt határoz meg."

Persze, és a szóban forgó ellipszis nem ilyen?

Az a baj, hogy fogalmad nincs a térgörbék egyenletrendszeréről. Mert akkor tudnád, hogy az yz és az xz síkban is meg kell adna a vetületi komponensegyenleteket.

> „A te egyenleted nem elforgatott ellipszist ír le, hanem egy olyant, amelyiknek az egyik féltengelye egy picit kisebb.”

Egyenletrendszerem. Pontosan az eredeti ellipszissel egybevágó ellipsziseket ír le. Nem, valóban nem egyet, hanem 2-t. TÉVEDTEM.

De akkor számolás: az eredeti ellipszisen olyan (x, y, z) pontok vannak rajta, amikre

x = a*cos(φ),

y = b*sin(φ),

z = 0,

φ pedig a valósakon végighaladó paraméter (ugye úgy lett 3 egyenlet, hogy behoztunk még egy szabad paramétert, így továbbra is görbét írunk le). Az (x, y, z) vektort az x-tengely körüli 5°-os forgatás mátrixával megszorozva:

(1,0,0; 0,cos(5°),–sin(5°); 0,sin(5°),cos(5°)) * (a*cos(φ), b*sin(φ), 0) =

= (a*cos(φ), b*cos(5°)*sin(φ), b*sin(5°)*sin(φ)).

Tehát az új, elforgatott rendszerben a paraméteres egyenletrendszer:

(1) y = b*cos(5°)*sin(φ),

(2) z = b*sin(5°)*sin(φ),

(3) x = a*cos(φ),

és ebből φ-t kiküszobölhetjük. Emeljük mindegyik egyenletet négyzetre (emiatt a lépés miatt lesz két ellipszisünk):

(1) y^2 = b^2*cos(5°)^2*sin(φ)^2,

(2) z^2 = b^2*sin(5°)^2*sin(φ)^2,

(3) x^2 = a^2*cos(φ)^2.

Ugye sin(φ)^2 = 1 – cos(φ)^2, cos(φ) pedig (3)-ból x^2/a^2-nek adódik, ezt helyettesítve:

(1) y^2 = b^2*cos(5°)^2*(1 – x^2/a^2),

(2) z^2 = b^2*sin(5°)^2*(1 – x^2/a^2),

amiben az egyenleteket 1-re rendezve pontosan a rossznak titulált egyenletrendszert adja.

> „Mert akkor tudnád, hogy az yz és az xz síkban is meg kell adna a vetületi komponensegyenleteket.”

(((Ha egy picit és képes lennél gondolkozni, akkor látnád – rám ragasztod a személyeskedést, bocsánat! Ezt töröljük))) Látható, hogy az egyenletrendszerem egyik egyenlete pont az ellipszisek vetületellipszise az xy síkban, a másik pedig az xz síkban.

> „Nem, nem hengerkoordináta... A polárkoordináta-rendszernek egy kiterjesztése.”

A neten találtam levezetést hengerkoordinátákkal: [link]

Szépen le van írva, hogy miért lesz ez síkmozgás, és miután ezt bizonyítja a z = 0 síkban dolgozik egyszerű polárkoordinátákkal.

Linkelnél te is (vagy esetleg leírnád), hogy hogyan kell elliptikus koordinátákkal megoldani a feladatot?

> „"Szóval térben a 3 egyenletből álló egyenletrendszer egy véges sok pontból álló halmazt határoz meg."

– Persze, és a szóban forgó ellipszis nem ilyen?”

XD De, ilyen! Az ellipszis véges sok pontból áll! Hogy neked milyen igazad van, én hülye meg nem gondoltam volna…

Ez inkább most hagyd abba, mert takarítónak se vesznek fel az egyetemre… (Mégegyszer bocsánat a személyeskedésért!)

(((> „De őneki a tudásán kívül hiányzik a harmadik egyenlete is, látszik, hogy matekból csak épp átbukdácsolt. Mellesleg a mértékegységekkel sincs tisztában, mert keveri a métert a kilóméterrel, pedig ezt már általános iskola 5.osztályában is tanítják.”

> „Az a baj, hogy fogalmad nincs a térgörbék egyenletrendszeréről.”

Ezt még részletezhetnéd, hogy ezek a megjegyzéseid hogyan kapcsolódnak az ellipszis egyenletrendszeréhez.)))

Megint csak az van, hogy a képletekkel elbohóckodsz egy középiskolás szinten, de a matematikai hátteret, ill. annak geometriai reprezentációját nem érted.

"Az (x, y, z) vektort az x-tengely körüli 5°-os forgatás mátrixával megszorozva:"

Látom a bázistranszformáció sem megy... Az inverzével kell szorozni (ami most megegyezik a transzponálttal), így egy előjelhibád van, ami persze a négyzetreemelésnél nem látszik.

Nagyon érdekes, hogy az ellipszis paraméterezését helyesen felírod, de amikor visszatérsz a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerbe, azt információvesztéssel teszed.

"Látható, hogy az egyenletrendszerem egyik egyenlete pont az ellipszisek vetületellipszise az xy síkban, a másik pedig az xz síkban."

És hol marad az yz sík? Mert ha csak az xy és az xz síkra vonatkozó vetületi egyenleteket írod fel, abból ugye nem derül ki, hogy te forgatni akartál...

Na látod, itt a másik hiba. Mert amíg nem volt elforgatva, addig odaírtad önkényesen hogy z=0, amely látszólag csak a második egyenlet, de valójában a harmadik egyenlettel azonos. Viszont az elforgatott ellipszisnél ez már nem igaz.

"Ez inkább most hagyd abba, mert takarítónak se vesznek fel az egyetemre"

Ezt pedig kikérem magamnak, mert kettőnk közül neked hiányos a matematika tudásod, főleg az egyetemi ismeretek tekintetében. Nekem vörösdiplomám van, te meg csak végigbukdácsoltál, mert ugye most már mindenkinek adnak mucsuraröcsögén egy főiskolai oklevelet, amit úgy vágtak hozzád. Aztán valahogy beraktak általános iskolai tanárnak. Persze a bérekre meg lehet panaszkodni, de az ilyen tudatlanok nyomják le az oktatási szinvonalat is...

> „Nagyon érdekes, hogy az ellipszis paraméterezését helyesen felírod, de amikor visszatérsz a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerbe, azt információvesztéssel teszed.”

Az a nagyon érdekes, hogy ez csak azután tűnt fel, hogy nagybetűkkel felhívtam rá a figyelmet, a saját tárgyi tévedéseidet meg (például, hogy az ellipszis szerinted nem lehet térbeli, vagy hogy véges sok pontja van) továbbra is próbálod jó komcsi módra elsumákolni.

> „Látom a bázistranszformáció sem megy... Az inverzével kell szorozni (ami most megegyezik a transzponálttal), így egy előjelhibád van, ami persze a négyzetreemelésnél nem látszik.”

Még jó, hogy csak egy vektort transzformáltam, és nem egy bázist. Meg ha az x tengelyre eső (2, 0) vektort szorozzuk mondjuk a (1/2,–gyök(3)/2; gyök(3)/2,1/2) mátrixszal, akkor az (1, gyök(3)) vektort kapjuk, ami az I. síknegyedben van, tehát valóban pozitív irányba forgattam, és nincs előjel hiba. De ezt egy kis általános iskolás számolgatással magadtól is beláthattad volna, ehelyett csak gyűjtöd itt a hülyeséget.

> „És hol marad az yz sík? Mert ha csak az xy és az xz síkra vonatkozó vetületi egyenleteket írod fel, abból ugye nem derül ki, hogy te forgatni akartál...”

Ezt a könyvet ajánlom figyelmedbe, különösen arról a részről, ami a két képsíkos ábrázolásról szól: [link]

Két vetületéből rekonstruálható a pont, csak annyit kell még hozzá tenni, hogy a képsíkok melyik oldalán van.

(((Összegezve olyan a tudásod, mint egy hatalmas, penészes, lyukacsos sajt. Néha írsz jó dolgokat, de általában csak dobálózol a felsőbb matematikai kifejezésekkel, és még a középiskolás anyagot sem érted és tudod alkalmazni. Én sosem használtam elliptikus koordinátarendszert, de legalább a bölcsis anyagot aránylag megbízhatóan tudom.)))

Fogalmad nincs a bázistranszformációról, látszik mennyire nem érted ezt az egészet, főleg hogy a saját hibáidat sem ismered fel.

Részemről a vitának ezt a részét lezárom, mert kár olyannak magyaráznom bármit is, aki matematikából hiányos tudással rendelkezik.

Javaslom nézz utána a lineáris transzformációknak, lineáris leképezéseknek, ha a jövőben nem szeretnéd hogy nevetség tárgya legyél, mint ahogy a mostani feladatnál is alaposan leszerepeltél.