Egy egységgömb kore irt egyenes kup terfogata mikor lesz minimalis?

Felrajzoltam a kúp egy síkmetszetét a kör síkmetszetével együtt, az alapkör sugara x, a magasság m, az alkotó y.A magasság két részre van osztható, egy 1 és egy m-1 hosszúságúra, az 1 hosszú a kör sugara a többi a maradék.A síkmetszeti háromszög fenn lévő szögének felét alfával jelöltem.A kör alkotóra merőleges sugarait behúztam.

Kaptam néhány derékszögű háromszöget:

sinalfa=x/y=1/(m-1)

x(m-1)=y

Felírom a Pitagorasz tételt:

x^2+m^2=y^2

y^2=x^2*(m-1)^2

Ezt visszaírom egyszerűsítek és azt kapom, hogy:

x^2=m/(m-2)

Vkúp=(x^2*pí*m)/3

Az x^2 helyére beírom az előbb kapott eredményt, majd a térfogatképletből nem veszem figyelembe pí/3-as tagot csak az m-es tagokat nézem és ezt egy függvényként tekintem.

f(m)=m^2/(m-2)

Deriváljuk, szélsőérték ottvan ahol az elsőderivált nulla

f'(m)=(m^2-4m)/(m-2)^2

Azt nézzük, hogy a számláló mikor nulla mert a nevező ugye nem lehet, ez egy egyszerű dolog, m=4

Meg kell vizsgálni a második deriváltat a 4 helyen:

f''(m)=2m-4 és f''(4)=4, mivel ez pozitív ezért m=4 esetén biztosan minimuma lesza térfogatnak.