Hogyan lehet megoldani ezt: lim x->0 (e^-x - (e^ (3x) ) /x)?

A törteknél tanult számítás szerint szedjük szét a törtet:

(e^(-x)/x) - (e^(3x)/x)

Mivel e^(-x)=1/(e^x), ezért az első tört átírható így:

(1/(x*e^x)) - (e^(3x)/x)

Közös nevező az x*e^x, így közös nevezőre hozzuk:

(1/(x*e^x)) - (e^x*e^(3x))/(x*e^x)

Végül összevonjuk a törteket:

(1-e^(4x))/(x*e^x)

Ezzel egy 0/0 alakú törtet kaptunk, így használhatjuk a L'Hospital-szabályt;

számláló deriváltja: ((1-e^(4x))'=-4*e^(4x)

nevező deriváltja: (x*e^x)'=e^x+x*e^x

amit kapunk: (-4*e^(4x))/(e^x+x*e^x), ebbe már vígan beírhatjuk a 0-t, és (-4)/1=-4-et kapjuk, ez lesz a határérték.

A WolframAlpha ugyanezt a határértéket adja x->0-ra:

[link]