Nem Euklideszi geometriában az alábbi következtetésre mi alapján jutottak? És mikor háromszögekről beszél akkor azok vallójában görbe oldalú háromszögek. Tehát jó, hogy nem 180 fok lesz a belső szögek összege. Mi ebben a nagy felfedezés?

Hát leginkább mondenhol, bocs :)

Nem jók a fogalmak, és a fogalmakból nem következnek a következtetések.

- - -

Descartes koordináta rendszere euklideszi (pontosabban affin), abban be tudod látni a párhuzamossági axiómát hogy igaz.

Egyszerű: vegyél egy egyenest, és egy rajta nem fekvő pontot. Írd föl a ponton átmenő összes egyenest (egy hamaz lesz, m függvőnyében + a függőleges) és mutasd meg, hogy 1 egyenes kivételével az összes többi metszi a rögzített egyenesedet.

Ekkor mondhatod azt, hogy ebben a rendszerben (ahol a sík az R^2, az egyenesek az affin alterek) igaz a párhuzamossági axióma.

Ha mást hívsz síknak és egyenesnek, akkor olyan rendszert kaphatsz, amelyben nem igaz a párhuzamossági axióma.

Az axióma eredetileg azt jelentette, hogy valami, amit elhiszünk a világról.

Bolyai előtt mindenki elhitte hogy igaz, hogy Descartes féle 3 dimenziós koordinátarendszerben él.

Ma inkább azt jelenti a matematikában, hogy valami, ami egy világot (modellt) definiál. Eukleidész 5 axiómája definiál egy világot (vagy legalábbis a terét), Bolyai 5 axiómája is. Ez két külön világ.

Valahol egymás mellett egy metauniverzumban lebegnek :)

Persze ez csak mese és fotelfilozófa, nem komolyan venni ezeket :)

Ez a te értelmezésed, ne add mások szájába.

Azért nem metszik egymást az egyenesek a végtelenben, mert az euklideszi síknak nincs olyan része, hogy végtelen. A mindenféle irányokban található végtelenekkel bővített euklideszi síkot hívjuk projektív síknak. Nem tudom, hogy költötted a hiperbolikushoz.

Nem tudok linkelni, nem találtam meg sehol egyszerűen kimondva. Ezért pötyögök egy vázlatot az ú.n. Cayley-Klein modellről.

Ha 'síknak' nevezed a hagyományos síkon a nyílt egységkörlapot, 'pontnak' a nyílt egységkörlap pontjait, és 'egyenesnek' a hagyományos sík olyan egyeneseit, amelyek belemetszenek a nyílt körlapba, akkor éppen a (vagy: egy) hiperbolikus geometriát kapod meg.

Más szóval: a pontok és az egyenesek azok amiket megszoktál a síkon, csak leszűkítve az egységkörre. Ami azon kívül van (vagy a szélén), azt nem tekinted pontnak, nem tekinted létezőnek.

Ezen a modellen van egy távolságfüggvény is, nem részletezem hogy pontosan mennyi az értéke. Távolságfüggvény alatt egy olyan képletet értek, amellyel megkaphatod két pont hiperbolikus távolságát, ha tudod az euklideszi koordinátáikat. Valami ronda képlet tele gyökjelekkel és szögfüggvényekkel, és benne 4 szabad változóval, ahova behelyettesíted a két pontot 2-2 koordinátáját.

A lényege az, hogy minél közelebb vagy a széléhez, úgy lesz egyre kisebb az euklideszi hossza egy hiperbolikus egységszakasznak, úgy lesz egyre kisebb az euklideszi területe egy hiperbolikus egységkörnek.

Egy egyenesre ha elkezdesz egymástól 1 hiperbolikus távolságra levő pontokat fölvenni (ahogyan a számegyenesen az egész számok sorakoznak), úgy ez a modellben egyre rövidülő euklideszi távolságot ad, sőt olyan gyorsan csökken az euklideszi mérete egy ilyen szakasznak, hogy végtelen sok pont elfér az egyenesen.

Itt egy szemléltető kép:

[link]

A hiperbolikus távolság, szög és területfogalom szerint minden piros háromszögecske egybevágó. (Euklideszi értelemben nem azok)

Ebben a modellben az 1,2,3 posztulátum triviálisan teljesül (már ha elhiszed hogy létezik ilyen távolságfüggvény), a 4.-et nem részletezem, az 5.-ik pedig triviálisan nem teljesül: egy ponton át egy

egyeneshez rahedli olyan egyenest lehet húzni, amelyik hiperbolikusan nem metszi. (Azaz euklideszi értelemben a köríven metszi, vagy a körlapon kívül, esetleg euklideszi értelemben vett párhuzamos vele. Ha két egyenes a köríven metszené egymást, akkor azt mondjuk hogy párhuzamosak, legalábbis az egyik két oldaluk. A körív pontjait néha végtelenben levő pontoknak is hívjuk, de inkább nem részei a síknak)

Ezen a modellen, ha elhiszed hogy van értelmes távolság és szögfogalom, akkor nyugodtan tudod szemlélni a párhuzamossági axiómát; hogy mit jelent az, hogy az nem teljesül.

Tudva hogy például ez egy hiperbolikus geometria, próbáld meg értelmezni az előző kommentedet arról, hogy mit tolunk hova.

((még legalább 2 gyökeresen eltérő megközelítés létezik. A másik válaszoló hiperbolikus sokaságokat akar tekinteni. Hogy a síkod egy ilyen harsona vége: [link] , és két pont között úgy definiálod a távolságot, amennyi a harsona felszínén mért legrövidebb távolság.) A leggyakoribb viszont az, ha az ember az axiómákból indulva vezeti be a hiperbolikus geometriát, ilyenkor görbe egyeneseket rajzol találomra.))

Ismeretterjesztő irodalomban gyakran megtörténik, hogy a hallgatóság nem értené meg az igazi fogalmakat, ezért költenek nekik valamit helyette. Ezt a cikket (nagyon magyar) iskolás gyerekeknek szánták érdekességképpen. Ne ilyen helyekről tanulj.

Aminek szenzációhajhász címe van vagy olyan helyen jelenik meg, ahol az olvasók várhatóan nem értenek a témához, az több mint valószínű, hogy hülyeség.

Nagyon jól megértetted ami oda van írva.

Valóban ezt hívják hiperbolikus párhuzamos félegyeneseknek.

> Ha a metszéspontot kitoljuk a végtelenbe akkor a végtelenben lesz a metszéspont mert oda toltuk. Miért szűnne meg?

Ez a jelenség euklideszi geometriában is fennál. Ha van egy e egyenesed és egy P pontod, az e egyenesen fölveszel egy F futópontot és tolod el a végtelenbe, akkor a PF egyenesnek lesz egy határhelyzete (szintén egy egyenes), az F pontnak pedig nem lesz határhelyzete semmi; legalábbis euklideszi pont biztosan nem.

A határhelyzetben kapott FP egyenes euklideszi esetben párhuzamos az e egyenessel; Bolyai síkon két irányba ha csinálod, akkor két különbözõ párhuzaos egyenest kapsz.

Ha MTA matematikus ír cikket, akkor viszonylag kevésbe kell arra számítani hogy butaság. Az ország 50 legjobb matematikusa ül ott.

Az euklideszi sík pontosan definiálva van hogy micsoda. Vannak tulajdonságai is.

Például igaz rá, hogy bármely 2 pontjának a távolsága véges szám.

Ebből kifolyólag két párhuzamos egyenes nem metszi egymást "a végtelenben". Sőt, nem metszi egymást egyáltalán.

((Ez a mondat a "két párhuzamos egyenes metszi egymást" mondat logikai negáltja))