Hogyan kell megoldani egy kétparaméteres egyenletrendszert?

Akkor lesz végtelen számú megoldásod, ha a fenti egyenletrendszer összefüggő, más szóval 1. és 2. egyenlet "ugyanazt mondja". Tehát úgy kell megválasztanod p-t és q-t, hogy az első és második egyenlet azonosak, vagy egymás többszörösei legyenek.

A megoldást nem akarom egészében elárulni, de gondolkozz el rajta, mi van ha q = -3.

Így van, p=-1/3 a megoldás.

Minden kétváltozós lineáris egyenlet egy egyenest jelöl ki a koordinátarendszerben. Az egyenes pontjainak koordinátái azok a számpárok, amelyek megoldásai lehetnek az egyenletnek.

Két lineáris kétváltozós egyenlet két ilyen egyenest jelöl ki, amelyek metszéspontja mindkét egyenletet kielégíti, ez a metszéspont az egyenletrendszer megoldása. De nem mindig van metszéspontja a két egyenesnek.

Előfordulhat, hogy a két egyenes párhuzamos de nem esik egybe. Ekkor nincs metszéspont és az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ilyen pl. az x+y=1 és x+y=2 egyenletrendszer. Nyilván nincs olyan x és y amelyek összege egyszerre 1 és 2.

Vagy előfordulhat, hogy a két egyenes egybeesik, ekkor konyhanyelven szólva "végtelen sok" metszéspont van: az egyenletrendszernek is végtelen sok megoldása van. Ilyen pl. az x+y=1 és 2x+2y=2. A feladat ugye arról szólt, hogy ezt a helyzetet előállítsuk, azaz a második egyenlet ugyanazt az egyenest határozza meg, mint az első, ne hordozzon többletinformációt.

Háromváltozós egyenletrendszereknél ugyanez megy síkokkal: független egyenletek esetében az első sík egy egyenesben metszi a másodikat, az egyenes pedig egy pontban szúrja át a harmadik síkot. Ha nem függetlenek, akkor meg ugye az van, hogy az egyenes nem átszúrja a síkot, hanem vagy párhuzamos vele, vagy benne fekszik (0 vagy végtelen megoldás).

Négyváltozósnál terek -> síkok -> egynenesek -> pontok a menetrend, és így tovább...