Hamarosan vizsgázom analízisből, de van két feladattípus, ami nem megy. Hogyan kell ezeket megoldani, levezetni a megoldást?

A görbe ívhosszát egy kis dx szakaszon Pitagorasz-tétel alapján gyök(dx^2 + dy^2)-tel tudod közelíteni. Ez átalakítható gyök(1 + (dy/dx)^2)*dx-szé. Ezt a kifejezést a 0...1 szakaszon integrálva kijön a teljes ívhossz. Magyarán gyök(1 + derivált^2)-et integrálod 0-tól 1-ig.

A forgástestnél egy dx vastagságú szelet térfogata: pi*y^2*dx (y sugarú és dx magasságú henger), ezt integrálod 0 és 1 között.

A helyettesítéses integrálra már nem emlékszem, azt majd megválaszolja valaki más.

2:

t = x^1/3 esetén

x = t^3.

(Megnézed hogy a függvényed injektív-e, és, örülsz hogy az.)

Az integrációs határaid

x=a tól x=b ig voltak, helyettük t=a^1/3 tól t=b^1/3 ig lesz.

Az integrálandó függvény sin(x^1/3) volt, belőle sin(t) lesz.

A dx dx volt, belőle

dx = dx/dt*dt = (t^3)'*dt = 3*t^2*dt

lesz.

Tehát

integrál sin(t) * 3 * t^2 * dt a helyettesítés utáni képlet (vigyázva az integrációs határokra határozott esetben), amit utána parciálisan tovább tudsz integrálni.

> A görbe ívhosszát egy kis dx szakaszon Pitagorasz-tétel alapján gyök(dx^2 + dy^2)-tel tudod közelíteni.

Ez azért iszonyú meredek állítás így... egy görbe ívhossza ugye int_a^b sqrt(1+f'(x)^2) . A deriváltja ugye 3sqrt(x)/2, akkor az egész sqrt(1+3x/4) határozatlan integrálja a 1/9(3x+4)^3/2 + C ha nem tévedek, ezzel nagykából kész.