Hogy néz ki ezeknek a függvényeknek a képe, és a jellemzése? (1/2) ^x, log2 (x) "kettesalapú logaritmus x ", cos^2 x

Ha ábrázolod őket, hamar kijönnek.

(1/2)^x:

ÉT: R (bármilyen számot írhatsz x helyére)

ÉK: ehhez érdemes megoldani az

(1/2)^x=y egyenletet: x=log(1/2)[y], és ennek kell megnézni az értelmezési tartományát; y>0.

Zérushely: nincs neki, lévén az értékkészlet nem tartalmazza.

Monotonitás: szigorúan monoton csökken, ez a rajzból jól látszik.

Szélsőérték: mivel szigorúan monoton csökken, nincs neki.

A függvény nem periodikus, mivel szigorúan monoton csökken mindenhol, nem páros, mivel (1/2)^x=(1/2)^(-x) nem teljesül minden x-re, és nem páratlan, mivel az (1/2)^x=-(1/2)^(-x) sem teljesül.

Inverze: log(1/2)[x], lásd fenn.

log(2)[x]:

ÉT: x>0, definíció szerint

ÉK: ehhez a log(2)[x]=y egyenletet kell megoldani: x=2^y, ennek az értelmezési tartománya R, így az eredeti értékkészlete is az lesz.

Zérushely:log(2)[x]=0 -> x=1.

Monotonitás: szigorúan monoton nő.

Szélsőérték: nincs, mivel szigorúan monoton nő.

A függvény nem periodikus, nem páros, nem páratlan.

Inverze: 2^x

cos^2(x):

ÉT: R

ÉK: [0;1]

Zérushely: cos^2(x)=0 -> cos(x)=0 -> x=pí/2+k*pí, ahol k tetszőleges egész

Monotonitás: ha

0+k*pí<=x<=pí/2+k*pí, akkor szigorúan monoton csökken

pí/2+k*pí<=x<=pí+k*pí, akkor szigorúan monoton nő

Szélsőérték:

cos^2(x)=0, ez már volt

cos^2(x)=1, ennek x=0+k*pí a megoldása.

A függvény periodikus, periódusa pí, páros, mivel a cos^2(x)=cos^2(-x) függvény mindig teljesül, de nem páratlan, mivel cos^2(x)=-cos^2(-x) nem mindig igaz.

Inverze: az inverzet csak egy szűkített intervallumon értelmezhetjük, általában a [0;c] intervallumot szokták használni, ahol c az a legnagyobb szám, amire a függvény még invertálható, ebben az esetben c=pí/2. Ezen az intervallumon

cos^2(x)=y -> cos(x)=gyök(y) -> x=arccos(gyök(y)).

Így néznek ki:

[link]

[link]

[link]