Ez hogy van pontosan?

Igen télleg van skaláris szorzat fizikában, és a munkát is azzal definiáljuk.

A képlet levezetése a matematikában történik, nem a fizikában. Fizikában azért használjuk, mert az erő csak az elmozdulás irányába eső komponensei végeznek munkát a testen.

Például, ha egy vízszintes asztallapon elhelyezett testre madzag van kötve és azt a madzagot az asztallappal 60 fokot bezáróan, egyenletesen húzod, akkor a kifejtett erőnek csak a fele végez munkát a testen (már ha az nem emelkedik el az asztallaptól).

Matematikában a levezetés onnan származik, hogy a bázisvektorok páronként egymással 90 fokos szöget zárnak be.

Így ha összeszorzod a vektorokat komponenseivel felírva

(ax + ay + az)·(bx + by + bz)

akkor láthatod, hogy ax skalárszorzata by-nal és bz-vel 0-t ad.

Nem, tartsd szem előtt, hogy a végeredménynek egy számnak, nem pedig vektornak kell lennie.

Nézd meg, hogy a bázisvektorok egymással vett skaláris szorzata mennyi.

Ugye |a|·|b|·cos(alfa) képlettel számoljuk a skaláris szorzatot a definíció szerint.

A bázisvektorok hossza egy, így

|i|·|j| · cos(90) = 0 = i·j (jelölés)

ahogyan

i·k = 0

viszont a bázisvektorok önmagukkal vett skaláris szorzata egyet ad eredményül.

i·i = j·j = k·k = 1

mert 0 fokot zárnak be önmagukkal, és hosszuk eggyel egyenlő.

[ a(1)·i + a(2)·j + a(3)k ] · [ b(1)·i + b(2)·j + b(3)·k ]

Ezt a műveletet elvégzed a fentiek tekintetében ami eredményül megadja a skaláris szorzat másik kiszámítási módját -amit a definícióból vezettük le, a bázisvektorok értelmezésének segítségével-

Ezt a tanár miért nem mondta el?:(

(ax+ay+az)*(bx+by+bz)=0.

Ez így rosszul van írva!

A két vektor alapértelmezésben oszlopvektor. Ilyet ide nem tudok írni, de úgy kell, hogy legyenek a komponensei a vektornak ax, ay és az. Ezeket egymás alá kell írni:

ax

ay

az

és baloldalt meg jobboldalt teszel egy baromi nagy zárójelet.

A másik vektor hasonlóan

bx

by

bz

A skalárszorzás:

ax bx

ay x by

az bz.

Zárójel innen hiányzik, mert ide nem lehet olyat írni.

A skalárszorzatot definiciószerűen úgy számítjuk, hogy a komponenseket szorzatának összegét vesszük.

Letakarod a vektorok 2. és 3. komponenseit, és ami marad, összeszorzod, ez tehát:

ax*bx.

Utána letakarod az első és harmadik komponenst, ekkor ami marad:

ay*by.

Utána az első két komponenseket takarod le, marad akkor:

az*bz.

A maradékokat összeadod:

ax*bx+ay*by+az*bz.

Ezt hívjuk úgy, hogy az a és a b vektor skalárszorzata.

Fizikában egy alkalmazás, hogy munka=erő*elmozdulás.

Az erővektor legyen:

Fx

F= Fy

Fz

Az elmozdulásvektor pedig:

sx

s= sy

sz

Ekkor a végzett munka:

W=F*s=Fx*sx+Fy*sy+Fz*sz.

Ez persze akkor igaz, ha az erő és az elmozdulás által bezárt szög a pálya mentén konstans, mert különben még vonalintegrálni kéne...