[Polinomok] Hogy tudnám meghatározni azt a legszűkebb intervallumot, ami tartalmazza adott polinomnak a gyökeit?

Általában előjelvizsgálattal szokták ezt elintézni; deriválják, megnézik, hogy hol vannak a szélsőértékhelyek, és ha a szélsőértékek különböző előjelűek, akkor azon az intervallumon (a Bolzano-Weierstrass-tétel értelmében) biztos, hogy a függvény felveszi a 0-t valahol.

Például, ha ezt deriválod, akkor ezt kapod:

48x^2-188x, ahol a derivált 0, ott lehet szélsőértékhely, tehát:

48x^2-118x=0, ebből

x1=0 és x2=118/48=59/24-nél van a szélsőértékhely.

x=0-ban a függvényérték 756, x=59/24-nél ~425,6.

Most vizsgálni kell a végtelenekben vett határértékeket; ha x->végtelen, akkor végtelen, ha x->-végtelen, akkor -végtelen, ez azt jelenti, hogy a (-végtelen;0) intervallumon lesz egy gyök (és csak egy gyök lesz, máskülönben több helyen lenne szélsőértéke, ami nincs).

Ezt úgy lehet még csökkenteni, hogy a polinomot felülről becsülöd, például a 16x^3+756x^2-94x^2=16x^3+662x^2 polinommal, és megnézed, hogy ez hol 0 (mert ahol ez 0, ott a nála kisebb polinom tuti, hogy negatív lesz), viszont ez a polinom csak x<-1-re nagyobb minden x-re, így meg kell nézni, hogy x=-1 esetén mi a helyzet: 834, tehát ez is pozitív. Most nézzük, hol 0:

16x^3+662x^2=0, oszthatunk x^2-tel, mivel x<-1

16x+662=0

16x=-662

x=-41,375, ez azt jelenit, hogy azz eredeti polinom x=-41,375-re negatív, így a (-41,375;0) intervallumon lesz a polinom gyöke.

Innentől kezdve lehet iterálni, vagyis az intervallum két végpontjának számítni közepén megnézed, hogy mennyi a függvényérték (illetve, hogy milyen előjelű), ha pozitív, akkor a (-41,375;...) intervallumra folytatod az iterálást, ha negatív, akkor a (...;0) intervallumra, és ezt addig csinálod, amíg kellő közelségbe nem jutsz a zérushelyhez.