V=a*t?

Mindig.

Mint az általad beírt képlet is mutatja.

ha nincs kezdeti sebesség.

egyébként

v=a*t+v0

ha pedig változik a gyorsulás, akkor integrálni kell idő szerint és hozzáadni a kezdeti sebességet.

Akkor használható, ha a gyorsulás állandó.

Ha nem, akkor fel kell bontani kisebb szakaszokra, ahol állandó, és ezeket külön számolni. Így működik az integrálás is.

Igen, a sebesség az út és az idő hányadosa - egyenletes mozgásnál. Ha a mozgás nem egyenletes, van valamilysn gyorsulás, lassulás, akkor az út és idő hányadosa az átlagsebességet adja.

Az általad írt képlet nulla kezdősebességű, gyorsuló mozgásra érvényes. Ott az s/t az nem a t időpillanatbeli sebességet mutatná. (Valójában annak a felét.)

Na meg lehetnek olyan feladatok, amikor nek adják meg az utat :)

v=a*t akkor igaz, ha:

i) Zérus kezdősebesség és

ii) az a gyorsulás időben állandó, és

iii) a vizsgált anyagi pont pályája egyenes vonal, vagy v párhuzamos a-val.

Általános esetben a sebesség definíciója deriválással adható meg, jelölje ugyanis r az anyagi pontba mutató helyvektort, ekkor

v=dr/dt,

ami egy pillanatnyi sebességet jelöl. A pillanatnyi gyorsulás pedig:

a=dv/dt=d^2r/dt^2.

Legyen most r az s ívhosszal paraméterezve, ekkor

v=dr/dt=(dr/ds)*(ds/dt), ahol

dr/ds=e, és itt most e a tangenciális irányú egységvektor, azaz:

v=e*ds/dt.

Igazolható differenciálgeometria segítségével, ha a pálya görbületi sugara R, akkor

de/ds=n/R, ahol n a normális irányú egységvektor. Ezeket felhasználva kapjuk hogy:

a=(d^2s/dt^2)*e+[(ds/dt)^2/R]*n.

Látjuk, hogy az első tag a tangenciális irányú, a második tag pedig a normálirányú gyorsulás, azaz:

a=a_tang+a_norm.

Most már értjük tehát, miért kell még feltenni, hogy egyenesvonalú legyen a mozgás, vagy a legyen párhuzamos v-vel.

Tekintsünk most egy egyenesvonalú változó mozgást időfüggő gyorsulással, ekkor igaz hogy:

a=dv/dt, és legyen valamely t_0 időpontban a sebesség v(t_0)=v_0. Nyílvánvaló, hogy v-re nézve ez egy elsőrendű explicit közönséges differenciálegyenlet, amelynek a kezdeti-feltételt kielégítő megoldása az ún. ekvivalens integrálegyenlet alapján formálisan egyszerűen megadható:

v(t)=v_0+Integral t_0-tól t-ig a(p)dp.

A formula persze vektorértékű sebesség -és gyorsulásokra is kiterjeszthető, de abba most nem mennék bele, hogy vektorokat hogy kell integrálni.