Valaki elmagyarázná a hatáérték formális definícióját?

Def.: Egy (an) sorozatnak határértéke egy A (eleme R) szám, ha minden epszilon>0 -hoz létezik egy N (eleme term. számok) küszöbindex, hogy an eleme(A-epszilon,A+epszilon) minden n>N-re.

Def.: Legyen f:R->R ,a (eleme R)

Az f függvénynek az a-ban vett határértéke A, ha minden epszilon>0-hoz létezik alfa>0, hogy |x-a|<alfa és x≠a esetén

|f(x)-A|<epszilon

ezt a kettőt nem értem, az alfa azt hiszem valamilyen ingadozást jelent, ja és a függvényhatárérték def-nél az "a" pontban a függvény határértéke "beteg". köszi

Azért is zavaró ez a két definíció mert nem kell se az epszilont, se a küszöbindexet használni(meg úgy az egész definíciót) egy példa kiszámításához. t

Többnyire csak bizonyításokhoz láttam hogy használják és a határérték megértéséhez, de ezt egyáltalán nem segítnekem megérteni a határérték működését. Tudnátok valamilyen szemléletes dolgot mutatni hozzá? Köszönöm!